Объяснение:Розв'яжіть рівняння 1) 36-25x²=0 ⇒ x²=36/25 ⇒ x=±6/5 или х=±1,2 2)4х^2 = (2х + 3)(х - 4) + 6х + 13 ⇒4x²=2x²-8x+3x-12+6x+13 ⇒ 2x²-x+1=0 ⇒D=1+8=9 ⇒ x₁=(1+3)/4=1, x₂=(1-3)/4= - 0,5
3)Не розв'язуючи рівняння знайдіть суму та добуток коренів рівняння 3х^2 - 16х + 9 = 0 ⇒ D= 256-108=148 =(2√37)² ⇒x₁=(16+2√37)/6= (8+√37)/3, x₂= (8 - 37)/3 Тогда х₁+х₂=16/3, х₁·х₂=(64-37)/9=3
4)Знайдіть корені рівняння -х^2 + 11х - 30 = 0 ⇒D= 121-120=1 ⇒ x₁= (-11+1)/(-2)= 5, x₂=(-11-1)/(-2)=-6
5)Кожний з х грибників зібрав по (х + 14) грибів. Знайдіть кількість грибників, якщо усього було зібрано 72 гриби. По условию: х(х+14)=72 ⇒х²+14х-72=0 ⇒D= 196+288=484=22² ⇒ x₁= (-14+22)/2=4 (грибника), х₂= (-14-22)/2 <0 (не удовл. усл). ответ: 4 грибника
6)При яких значеннях b рівняння 5х^2 + bх - 3b = 0 має єдиний корінь? Уравнение имеет 1 корень, если D=0 ⇒ b²+60b ⇒ b²+60b =0 ⇒b(b+60)=0⇒b₁=0, b₂=-60
Объяснение:
sin x = √3/2
x = 2/3pi + 2pi*n (n - целое) и x = 1/3pi + 2pi*n (n - целое)
---
cos x = 1/2
x = -1/3pi + 2pi*n (n - целое) и x = 1/3pi + 2pi*n (n - целое)
---
cos x = -√3/2
x = 5/6pi + 2pi*n и x = -5/6pi + 2pi*n (n - целое)
---
cos x = -1
x = pi + 2pi*n (n - целое)
---
tg x = √3
x = 1/3pi + pi*n (n - целое)
---
sin x = -1/2
x = -1/6pi + 2pi*n и x = 7/6pi + 2pi*n (n - целое)
---
3sin^2x - 5sinx - 2 = 0
(3sinx +1)(sinx-2) = 0
sin(x) - 2 ≠ 0, поэтому 3sinx+1 = 0
sinx = -1/3
x = 2pi*n + arcsin(-1/3) и x = 2pi*n + pi - arcsin(-1/3) (n - целое)
---
7tg^2x + 2tgx - 5 = 0
(7tgx-5)(tgx+1) = 0
1) tgx = -1, x = -1/4pi + pi*n (n - целое)
2) tgx = 5/7, x = arctan(5/7) + pi*n (n - целое)
---
2cos^2x - cosx - 3 = 0
(2cosx -3)(cosx + 1) = 0
1) cosx = -1, x = pi + 2pi*n (n - целое)
2) cosx = 3/2, невозможно, т.к. cos(x) ≤ 1
---
2sinx = 1
sinx = 1/2
x = 1/6pi + 2pi*n и x = 5/6pi + 2pi*n (n - целое)
1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть.
Ограничений нет: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, отсутствуют вертикальные асимптоты и точки разрыва функции.
Область значений определится после нахождения экстремумов.
2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной.
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(-x).
Так как переменная в чётных степенях, то функция чётная.
3. Выяснить, является ли функция периодической - нет.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).
Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в -x^4+2x^2+3.
у =-0^4+2*0^2+3 = 3,
Результат: y=3. Точка: (0; 3).
Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:
График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение: -x^4+2x^2+3 = 0.
Делаем замену х^2 = t и получаем квадратное уравнение:
-t^2+2t+3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно t:
Ищем дискриминант:
D=2^2-4*(-1)*3=4-4*(-1)*3=4-(-4)*3=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√16-2)/(2*(-1))=(4-2)/(2*(-1))=2/(2*(-1))=2/(-2)=-2/2=-1;
t_2=(-√16-2)/(2*(-1))=(-4-2)/(2*(-1))=-6/(2*(-1))=-6/(-2)=-(-6/2)=-(-3)=3.
Первый корень отбрасываем, так как квадрат х не может быть отрицательным числом.
Находим 2 точки пересечения графика с осью Ох: х = √3 и х = -√3.
5. Найти асимптоты графика - их нет, так как все пределы при х⇒∞ равны ∞.
6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.
y' = 4x³ + 4x = -4x(x² - 1).
Приравниваем нулю: -4x(x² - 1) = 0.
Получаем 3 критические точки: х = 0, х = 1 и х = -1.
7. Найти промежутки монотонности функции.
Получили 4 промежутка: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1) и (1; +∞).
8. Определить экстремумы функции f(x).
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 y' = 24 0 -1,5 0 1,5 0 -24.Имеем: 2 максимума: (-1; 4) и (1; 4) и локальный минимум (0; 3). 4 промежутка монотонности: - возрастание (-∞; -1) и (0; 1), - убывание (-1; 0) и (1; +∞).Теперь определилась область значений функции: (-∞; 3].9. Вычислить вторую производную f''(x) = -12x^2+ 4.
Приравниваем нулю: -12x^2+ 4 = -12(x^2- (1/3)) = 0.
Имеем 2 точки перегиба: х = 1/√3 и -1/√3.
10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба.
где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
x = -1 -0,57735 0 0,57735 1 y'' = -8 0 4 0 -8.График выпуклый на промежутках (-∞; (-1/√3)) и ((1/√3); +∞), вогнутый на промежутке (-1/√3) (1/√3)).11. Построить график, используя полученные результаты исследования.
Дан в приложении.