1. Найдем точки пересечения графиков: это 0 и 3. 2. Вычислим площадь под каждым из графиков путем интегрирования функции по отрезку от 0 до 3, а затем возьмём разность площадей. 3. y=x^2. Интеграл: (x^3)/3. Значит, S=9. 4. y=3x. Интеграл: 3*(x^2)/2. Значит, S= 27/2. 5. Итоговая площадь: S=(27-18)/2=9/2=4.5
2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.
3) Функция не периодическая.
4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.
5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая – вертикальная асимптота.
6) Находим и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).
В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.
Найти первую производную функции
Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.
7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).
Найти вторую производную функции
8) Выясним вопрос об асимптотах.
Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.
2. Вычислим площадь под каждым из графиков путем интегрирования функции по отрезку от 0 до 3, а затем возьмём разность площадей.
3. y=x^2. Интеграл: (x^3)/3. Значит, S=9.
4. y=3x. Интеграл: 3*(x^2)/2. Значит, S= 27/2.
5. Итоговая площадь: S=(27-18)/2=9/2=4.5