Question

Решить . многочлен четвертой степени с положительным старшим коэффициентом имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию с разностью 1. найдите квадрат расстояния между точками минимума этого многочлена.

Answer 1

Наш многочлен имеет вид

$P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

Пусть меньший его корень равен $x_1$. Так как корни образуют арифметичекую прогрессию, можем записать:

$x_2=x_1+1\\x_3=x_1+2\\x_4=x_1+3$

Многочлен раскладывается на линейный множители следующим образом:

$P(x)=a(x-x_1)(x-x_1-1)(x-x_1-2)(x-x_1-3)$

Напрашивается замена $t=x-x_1$. Тогда

$P(t)=at(t-1)(t-2)(t-3)=a(t^4-6t^3+11t^2-6t)$

Нам нужно найти минимумы этой функции, поэтому дифференцируем:

$P'(t)=a(4t^3-18t^2+22t-6)$

Теперь требуется найти корни этого многочлена. Используя теорему о рациональных корнях многочлена можно найти корень $t=\frac{3}{2}$

Согласно теореме Безу, $P'(t)$ должен делиться на $4(t-\frac{3}{2} )=(4t-6)$. Разложим на множители, чтобы найти остальные корни:

$P'(t)=a(4t^3-6t^2-12t^2+18t+4t-6)=a[t^2(4t-6)-3t(4t-6)+(4t-6)]=a(4t-6)(t^2-3t+1)$

Решив квадратное уравнение $t^2-3t+1=0$, найдем корни

$t_{1, 2}=\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}$

Расположив корни

$\frac{3}{2},\;\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}$

на числовой прямой и использовав метод интервалов, узнаем, что производная меняет знак с минуса на плюс в точках $t=\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}$, это и есть точки минимума. Переходя обратно к многочлену от x, получаем точки

$x_{min1}=\frac{3+\sqrt{5} }{2}+x_1\\x_{min2}=\frac{3-\sqrt{5} }{2}+x_1$

Квадрат расстояния между ними:

$|x_{min2}-x_{min1}|^2=(\sqrt{5} )^2=5$