УсловиеНа каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, который наблюдает ближайшую к нему планету. Докажите, что некоторую планету никто не наблюдает. ПодсказкаВыберите вначале пару ближайших друг к другу планет. РешениеВозьмем две планеты, расстояние между которыми наименьшее среди всех попарных расстояний. Ясно, что астрономы, находящиеся на этих двух планетах, смотрят друг на друга. Рассмотрим оставшиеся 13 планет. Если хотя бы один из астрономов с этих планет смотрит на одну из двух выбранных планет, то на все 13 планет не хватит наблюдателей, т.е. среди этих планет найдется та, которую никто не наблюдает. Если же ни на одну из выбранных двух планет никто не смотрит, то эти две планеты можно не рассматривать и повторить все рассуждения для 13 планет. Рассуждая так и далее, мы найдем планету, которую никто не наблюдает (используем, что 15 - нечетное число). я так написала
21 монету перевернуть нельзя, потому что при каждом перевороте остается нечетное количество монет решкой вверх. А 20 монет можно, потому что четность все время меняется. Для 20 монет (переворачиваем по 19 каждый раз) алгоритм такой. 0) Изначально лежит 20 монет решкой вверх. 1) Переворачиваем 19 орлом вверх. 1 остается решкой вверх. 2) Переворачиваем решку и 18 орлов. Стало 18 решек и 2 орла вверх. Один орел - которого не перевернули, второй - которого перевернули с решки. 3) Переворачиваем 2 орла и 17 решек. Стало 3 решки и 17 орлов вверх. 4) Переворачиваем 3 решки и 16 орлов. Стало 16 решек и 4 орла вверх. ... 9) Переворачиваем 9 решек и 10 орлов. Стало 11 решек и 9 орлов вверх. 10) Переворачиваем 10 орлов и 9 решек. Стало 10 решек и 10 орлов вверх. Тут главное не запутаться, потому что орлы и решки сравнялись. 11) Переворачиваем 10 орлов и 9 решек. Стало 11 решек и 9 орлов вверх. 12) Переворачиваем 11 решек и 8 орлов. Стало 12 орлов и 8 решек вверх. ... 19) Переворачиваем 18 орлов и 1 решку. Стало 19 решек и один орел вверх. 20) Переворачиваем 19 решек. Стало 20 орлов. Всё!
