Question

(матрица перехода от базиса a1,a2,a3 к a1,a3,a4 ) a1=(1; 0; -5) a2=(-3: -2; -4) а3=(0; 0; -1) а4=(0; 1; 0)

Answer 1

1. Выразим векторы второго базиса через первый:

Вектор a₁:

$a_1=\beta_1a_1+\beta_2a_2+\beta_3a_3 \\ a_1=1\cdot a_1+0\cdot a_2+0\cdot a_3$

Вектор a₃:

$a_3=\beta_1a_1+\beta_2a_2+\beta_3a_3 \\ a_3=0\cdot a_1+0\cdot a_2+1\cdot a_3$

Вектор a₄:

$a_4=\beta_1a_1+\beta_2a_2+\beta_3a_3 \\ \\ (0,1,0)=\beta_1(1,0,-5)+\beta_2(-3,-2,-4)+\beta_3(0,0,-1) \\ \\ (0,1,0)=(\beta_1,0,-5\beta_1)+(-3\beta_2,-2\beta_2,-4\beta_2)+(0,0,-\beta_3) \\ \\ \left\{\begin{matrix}\beta_1-3\beta_2+0=0\\ 0-2\beta_2+0=1\\ -5\beta_1-4\beta_2-\beta_3=0\end{matrix}\right. \\ \\ \left\{\begin{matrix}\beta_1=-\frac{3}{2}\\ \\ \beta_2=-\frac{1}{2}\\ \\ \beta_3=\frac{19}{2}\end{matrix}\right. \\\\\\a_4=-\frac{3}{2}a_1-\frac{1}{2}a_2+\frac{19}{2}a_3$

2. Составим матрицу перехода:

Найдём значения β₁ в каждом векторе (1; 0; -3/2). Эти значения будут составлять 1-ю строку матрицы перехода.После найдём все значения β₂ (0, 0, -1/2). Они соответственно образуют 2-ю строку матрицы. Аналогично β₃

Таким образом, получим следующую матрицу перехода:

$T=\begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{3}{2}\\ 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1 &\frac{19}{2} \end{pmatrix}$

Матрица T -- искомая матрица перехода от базиса a₁, a₂, a₃ к базису a₁, a₃, a₄.