Даны парабола y = x² - 5х + 6 и прямая y = -x + 1.
Вычтем первого уравнения второе и получим функцию зависимости расстояния по оси «у» между заданными линиями:
f(x) = x² - 4x + 5.
Найдём производную этой функции для определения экстремума.
f'(x) = 2x - 4.
Приравняем нулю:
2х - 4 = 0.
х = 4/2 = 2.
Найдём знаки производной f'(x) = 2x - 4.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точка минимума.
х = 1 2 3
y' = -2 0 2.
Поэтому в точке х = 2 имеем минимум функции.
Если по оси у расстояние между линиями минимально, то оно и по оси х будет тоже минимальным.
Находим вертикальное расстояние по разности ординат:
параболы у(2) = 2² *5*2 + 6 = 0,
прямой у(2) = -1*2 + 1 = -1.
Δу = 0-(-1) = 1.
Расстояние d по перпендикуляру к прямой равно:
d = Δy*cos α.
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен -1 (по уравнению у = кх + в, где к это тангенс угла).
cos α = 1/√(1+tg²α) = 1/√(1+1) = 1/√2 = √2/2.
Отсюда получаем ответ:
d = 1*(√2/2) = √2/2 ≈ 0,7071.
Аналогичный ответ можно получить, если точку минимального расстояния от параболы до прямой найти с касательной, угловой коэффициент (и значение производной) которой равен -1 (как у заданной прямой).
Получаем 2х - 5 = -1, х = 4/2 = 2. Это точка с минимальным расстоянием до прямой у = -х + 1.
Далее через точку х = 2 проводим нормаль к прямой и ищем точку пересечения. По разности координат находим длину перпендикуляра - то есть наименьшего расстояния.
1) с^4∙ с^7:c^9=х2
( а^4)^3 ∙ а =х13
( -2х)^4=16х4
– 2,5 а-2в^3 ∙ 4а^7в-5=-2,5а-8а7в4-5
2) (2х2 – 3х) – (5х – х2)=2х2-3х-5х+х2=3х2-8х
– 3х(2х – 1)=-3х*2х-3х(-1)=-6х2+3х
(3 – у2)(у – 4)=3у-12-у3+4у2=-у3+4у2+3у-12
3) х2 – (х + 4)(х – 4) = 2х
х2-(х2-16)=2х
х2-х2+16=2х
16=2х
2х=16
х=8
4) (х – 2)2 + 4х при х = - 12
2(х-2+2х)=2(3х-2)
2(3*(-12)-2)=2(-36-2)=2(-38)=-76
5)
х2=(х+1)(х+2)-20
х2=х2+3х-18
3х=18
х=6
ответ 6,7,8