Question

Докажите, что куб целого числа при делении на 9 дает в остатке 0,1 или 8

Answer 1

$x \equiv \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \mod 9$

Значит, $x^3$ даёт кубы этих остатков: $\{ 0, 1, 8\}$.

Действительно,

$0^3\,\mathrm{mod}\,9 = 0 \,\mathrm{mod}\,9 = 0\\1^3 \,\mathrm{mod}\,9 = 1 \,\mathrm{mod}\,9 = 1\\2^3 \,\mathrm{mod}\,9 = 8 \,\mathrm{mod}\,9 = 8\\3^3 \,\mathrm{mod}\,9 = 27 \,\mathrm{mod}\,9 = 0\\4^3 \,\mathrm{mod}\,9 = 64 \,\mathrm{mod}\,9 = 1\\5^3 \,\mathrm{mod}\,9 = 125 \,\mathrm{mod}\,9 = 8\\6^3 \,\mathrm{mod}\,9 = 216 \,\mathrm{mod}\,9 = 0\\7^3 \,\mathrm{mod}\,9 = 343 \,\mathrm{mod}\,9 = 1\\8^3 \,\mathrm{mod}\,9 = 512 \,\mathrm{mod}\,9 = 8$

Для отрицательных чисел можно заметить, что $x\mod a = b \Rightarrow (-x) \mod a= (a - b)\mod a$. Тогда остатки будут аналогичные.