Расстояние между a и в равно 115 км. из города a в город в выехал автомобиль, а через 15 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист. мотоциклист догнал автомобиль в городе с и повернул обратно. когда он проехал две трети пути от с до а, автомобиль прибыл в в. найдите расстояние от а до с
an = a1 + (n-1)d
где a1 - первый член прогрессии, d - разность между членами прогрессии, n - номер члена, который мы хотим найти.
В данном случае, a1 = 2, a2 = 6. Разность между членами прогрессии (d) можно найти, вычитая первый член из второго:
d = a2 - a1 = 6 - 2 = 4
Теперь, подставим значения в формулу:
a10 = a1 + (10-1)d = 2 + 9(4) = 2 + 36 = 38
Таким образом, десятый член арифметической прогрессии равен 38.
Чтобы найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, можем использовать следующую формулу:
Sn = (n/2)(a1 + an)
где Sn - сумма первых n членов прогрессии.
Теперь подставим значения в формулу:
S10 = (10/2)(2 + 38) = 5(40) = 200
Таким образом, сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 200.
2. Для нахождения третьего члена геометрической прогрессии (bn), используем формулу:
bn = b1 * q^(n-1)
где b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена, который мы хотим найти.
В данном случае, b1 = -1, q = 5.
Подставим значения в формулу для нахождения третьего члена:
b3 = -1 * 5^(3-1) = -1 * 5^2 = -1 * 25 = -25
Таким образом, третий член геометрической прогрессии равен -25.
Чтобы найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, используем следующую формулу:
Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)
где Sn - сумма первых n членов прогрессии.
Подставим значения в формулу:
S4 = -1 * (1 - 5^4) / (1 - 5) = -1 * (1 - 625) / (-4) = 624 / 4 = 156
Таким образом, сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 156.
3. Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии, используем следующую формулу:
S_inf = b1 / (1 - q)
где S_inf - сумма бесконечной прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.
В данном случае, b1 = -4, q = 1/4.
Подставим значения в формулу:
S_inf = -4 / (1 - 1/4) = -4 / (3/4) = -16/3
Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна -16/3.
4. Для нахождения номера члена арифметической прогрессии равного 4.9, используем формулу для общего члена прогрессии:
an = a1 + (n-1)d
где an - общий член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность между членами прогрессии, n - номер члена, который мы хотим найти.
В данном случае, a1 = 1.4, d = 0.5, an = 4.9.
Подставим значения в формулу и решим уравнение:
4.9 = 1.4 + (n-1)(0.5)
4.9 - 1.4 = 0.5n - 0.5
3.5 = 0.5n - 0.5
0.5n = 4
n = 8
Таким образом, номер члена арифметической прогрессии, равного 4.9, равен 8.
5. Чтобы найти два числа, которые надо вставить между числами 4 и -108, чтобы получилась геометрическая прогрессия, используем следующую формулу:
bn = b1 * q^(n-1)
где bn - n-ый член геометрической прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена.
В данном случае, b1 = 4, q = -3.
Подставим значения в формулу для нахождения второго члена:
b2 = 4 * (-3)^(2-1) = 4 * (-3) = -12
Подставим значения в формулу для нахождения третьего члена:
b3 = 4 * (-3)^(3-1) = 4 * (9) = 36
Таким образом, два числа, которые можно вставить между числами 4 и -108, чтобы получилась геометрическая прогрессия, -12 и 36.
6. При каком значении x значения выражений x - 3, x + 4 и 2x - 40 будут последовательными членами геометрической прогрессии?
Для того чтобы значения выражений стали последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться следующее условие:
(x + 4) / (x - 3) = (2x - 40) / (x + 4)
Решим уравнение:
(x + 4)(x + 4) = (2x - 40)(x - 3)
Раскроем скобки:
x^2 + 8x + 16 = 2x^2 - 126x + 120
Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
x^2 - 134x + 104 - 2x^2 - 8x - 16 = 0
-x^2 - 142x + 88 = 0
Мы получили квадратное уравнение. Решим его используя квадратную формулу:
x = (-(-142) ± √((-142)^2 - 4(-1)(88) )) / (2(-1))
x = (142 ± √(20164 + 352 )) / 2
x = (142 ± √20416) / 2
x = (142 ± 143.02) / 2
Разделим на 2:
x = (142 + 143.02) / 2 = 285.02 / 2 = 142.51
x = (142 - 143.02) / 2 = -1.02 / 2 = -0.51
Таким образом, при x = 142.51 и x = -0.51 значения выражений x - 3, x + 4 и 2x - 40 будут последовательными членами геометрической прогрессии:
x - 3 = 142.51 - 3 = 139.51
x + 4 = 142.51 + 4 = 146.51
2x - 40 = 2(142.51) - 40 = 285.02 - 40 = 245.02
x - 3 = -0.51 - 3 = -3.51
x + 4 = -0.51 + 4 = 3.49
2x - 40 = 2(-0.51) - 40 = -1.02 - 40 = -41.02
7. Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 9, которые больше 120 и меньше 210, можем использовать формулу для нахождения суммы арифметической прогрессии:
Sn = (n/2)(a1 + an)
где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, an - n-ый член прогрессии.
В данном случае, a1 = 126 (первое число, кратное 9, которое больше 120 и меньше 210), an = 207 (последнее число, кратное 9, которое больше 120 и меньше 210).
Подставим значения в формулу для нахождения суммы:
Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(126 + 207)
Теперь нужно найти n. Мы знаем, что последний член прогрессии, an, равен 207. Для нахождения n, используем формулу:
an = a1 + (n-1)d
где an - n-ый член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность между членами прогрессии.
В данном случае, a1 = 126, d = 9.
Подставим значения в формулу и решим уравнение:
207 = 126 + (n-1)(9)
207 - 126 = 9n - 9
81 = 9n - 9
90 = 9n
n = 10
Подставим значение n в формулу для нахождения суммы:
S10 = (10/2)(126 + 207) = 5(333) = 1665
Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 9, которые больше 120 и меньше 210, равна 1665.