Question

Выборка x1, x2, ..., xn извлечена из равномерного распределения на отрезке [0, 3θ +2] Найти оценку неизвестного параметра θ методом моментов.​

Answer 1

Для того, чтобы найти оценку неизвестного параметра θ методом моментов, мы сначала определим первый момент распределения и приравняем его к первому моменту выборки.

Первый момент распределения равномерного распределения на отрезке [0, 3θ + 2] можно посчитать следующим образом:
М1 = (a + b) / 2
где a и b - границы интервала распределения. В данном случае a = 0 и b = 3θ + 2.

Подставляем значения:
М1 = (0 + (3θ + 2)) / 2 = (3θ + 2) / 2 = (3/2)θ + 1

Теперь найдем первый момент выборки. Для этого нужно найти среднее значение выборки.

Среднее значение выборки (x̄) равно сумме всех чисел в выборке, деленной на их количество:
x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n

Теперь нам нужно выразить θ из первого момента распределения:
(3/2)θ + 1 = x̄

Теперь решим это уравнение относительно θ:
(3/2)θ = x̄ - 1
θ = (2/3)(x̄ - 1)

Таким образом, оценкой неизвестного параметра θ методом моментов является (2/3)(x̄ - 1).

Обоснование:
Метод моментов основан на равенстве моментов теоретического распределения и выборки. Мы использовали первый момент распределения, который является математическим ожиданием исследуемой случайной величины, а также первый момент выборки, который является средним значением выборки. Путем приравнивания этих моментов, мы получили уравнение, из которого выразили неизвестный параметр θ.

Шаги решения:
1. Найдите первый момент распределения, используя границы интервала распределения.
2. Подставьте значения в формулу первого момента распределения.
3. Найдите среднее значение выборки.
4. Выразите θ из уравнения, приравнивающего первый момент распределения и первый момент выборки.
5. Полученное выражение (2/3)(x̄ - 1) является оценкой неизвестного параметра θ методом моментов.