Question

Решить по .

условие: пусть дана функция полезности
tu = 130 * q - 2,5 * q^2

найти: точку насыщения, при которой совокупная полезность будет максимальной;

Answer 1

Для того чтобы решить данную задачу, нам нужно найти точку насыщения функции полезности, при которой совокупная полезность будет максимальной.

Для начала, нам необходимо найти производную данной функции. Для этого мы возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого будет равна 130, так как производная постоянной величины всегда равна нулю.

Для производной второго слагаемого, у нас есть квадрат переменной "q". Для нахождения производной квадрата, мы будем использовать правило дифференцирования для степенной функции:

d/dx(x^n) = n * x^(n-1)

Поэтому производная второго слагаемого будет равна:
-2,5 * 2 * q^(2-1) = -5q

Теперь мы сможем найти производную функции полезности tu:

d/dq(tu) = d/dq(130q - 2,5q^2) = 130 - 5q

Следующим шагом будет приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

130 - 5q = 0

Переносим 5q на другую сторону уравнения:
5q = 130

Делим обе части уравнения на 5:
q = 130/5 = 26

Таким образом, мы получили значение переменной "q", при котором производная функции полезности равна нулю. Это и есть точка насыщения, при которой совокупная полезность будет максимальной.

Для того чтобы убедиться, что это действительно точка максимума, мы можем взять вторую производную и проверить ее значение. Если вторая производная положительная, то это будет означать, что точка является точкой максимума.

Вторая производная функции полезности будет равна производной от производной:

d^2/dq^2(tu) = d/dq(130 - 5q) = -5

Заметим, что вторая производная равна константе -5, которая является отрицательной. Это означает, что точка q = 26 действительно является точкой максимума функции полезности.

Таким образом, найденная точка насыщения при q = 26 является точкой максимальной совокупной полезности.