Question

В районе 1800 семей. С целью определения среднего раз­мера семьи района было проведено выборочное обследование ме­тодом случайного бесповторного отбора. В результате получены такие данные:

Размер семьи, лиц 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Количество семей 4 8 12 14 6 4 3 2 1
На основании приведенных данных определите:

1) средний размер семьи;

2) среднее квадратическое отклонение и диспер­сию среднего размера семьи;
3)с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и интервал, в котором находится средний размер семьи. Сделай выводы.

Answer 1

1) Для определения среднего размера семьи необходимо умножить каждое значение размера семьи на соответствующее количество семей, затем сложить полученные произведения и разделить их сумму на общее количество семей.

Средний размер семьи = (1 * 4 + 2 * 8 + 3 * 12 + 4 * 14 + 5 * 6 + 6 * 4 + 7 * 3 + 8 * 2 + 9 * 1) / 1800

= (4 + 16 + 36 + 56 + 30 + 24 + 21 + 16 + 9) / 1800

= 212 / 1800

= 0.1178 (округляем до четырех знаков после запятой)

Средний размер семьи равен 0.1178.

2) Среднее квадратическое отклонение можно найти по формуле SQRT(дисперсия). Дисперсию можно найти, вычислив сумму значения каждого размера семьи, умноженного на квадрат разности между этим значением и средним размером семьи, разделенную на общее количество семей.

Для вычисления дисперсии для каждого значения размера семьи вычисляем (значение - средний размер семьи)^2 * количество семей:

(1 - 0.1178)^2 * 4 = 0.0349
(2 - 0.1178)^2 * 8 = 0.4311
(3 - 0.1178)^2 * 12 = 1.2177
(4 - 0.1178)^2 * 14 = 2.4371
(5 - 0.1178)^2 * 6 = 2.8991
(6 - 0.1178)^2 * 4 = 3.1309
(7 - 0.1178)^2 * 3 = 2.2182
(8 - 0.1178)^2 * 2 = 1.4018
(9 - 0.1178)^2 * 1 = 0.7386

Суммируем полученные значения:

0.0349 + 0.4311 + 1.2177 + 2.4371 + 2.8991 + 3.1309 + 2.2182 + 1.4018 + 0.7386 = 14.5084

Дисперсия = 14.5084 / 1800

= 0.0081 (округляем до четырех знаков после запятой)

Среднее квадратическое отклонение = SQRT(0.0081)

≈ 0.0901 (округляем до четырех знаков после запятой)

Среднее квадратическое отклонение равно примерно 0.0901.

3) Чтобы найти предельную ошибку выборки, необходимо умножить среднее квадратическое отклонение на z-значение, соответствующее вероятности 0,997. Затем предельная ошибка выборки равна произведению предельной ошибки на квадратный корень из количества семей.

z-значение для вероятности 0,997 составляет приблизительно 2.9677 (можно найти в таблице распределения Стьюдента или нормального распределения).

Предельная ошибка выборки = 0.0901 * 2.9677

≈ 0.2676 (округляем до четырех знаков после запятой)

Интервал, в котором находится средний размер семьи, можно определить, вычитая предельную ошибку выборки из среднего размера семьи (нижняя граница интервала) и добавляя ее к среднему размеру семьи (верхняя граница интервала).

Нижняя граница интервала = 0.1178 - 0.2676

≈ -0.1498 (округляем до четырех знаков после запятой)

Верхняя граница интервала = 0.1178 + 0.2676

≈ 0.3854 (округляем до четырех знаков после запятой)

Средний размер семьи находится в интервале примерно от -0.1498 до 0.3854 (округлено до четырех знаков после запятой) с вероятностью 0,997.

Выводы:
- Средний размер семьи района составляет примерно 0.1178.
- Среднее квадратическое отклонение равно примерно 0.0901, что означает, что размеры семей не сильно различаются друг от друга.
- С вероятностью 0,997 средний размер семьи будет находиться в интервале примерно от -0.1498 до 0.3854. Данный интервал достаточно широкий, поэтому можно сделать вывод о большой вариабельности размеров семей в районе.