Question

На тонкое проволочное кольцо радиусом r натянута мыльная пленка массой 1 грамм, коэффициент поверхностного натяжения 40 мн/м, если в центре мыльной пленки сделать прокол, то спустя некоторое время настает ее схлопывание, какая часть энергии пленки при этом перейдет в кинетическую энергию движения жидкости пленки?

Answer 1

1/2

Объяснение:

Рассмотрим некоторый момент времени, пока пленка еще не схлопнулась полностью (см. рисунок). Сила поверхностного натяжения равна:

$\displaystyle F=2\sigma L=4\pi \sigma x$

Жидкость, содержащаяся в пленке, собирается в кольцо масса которого равна массе жидкости в объеме образовавшейся "дырки":

$\displaystyle m=m_0\frac{x^2}{R^2}$

Запас энергии, которой обладает пленка, равна работе сил поверхностного натяжения на всем их пути:

$\displaystyle W=\int\limits^R_0 {4\pi\sigma x } \, dx =2\pi \sigma R^2$

Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме:

$\displaystyle (mv)'=F$

$\displaystyle (m_0\frac{x^2}{R^2} v)'=F$

Раскроем производную из левой части выражения по правилу дифференцирования произведения и сложной функции:

$\displaystyle \frac{m_0}{R^2}(x^2v)'=\frac{m_0}{R^2}(2xv^2+x^2a)$

Таким образом:

$\displaystyle \frac{m_0}{R^2}(2xv^2+x^2a)=4\pi \sigma x$

Или

$\displaystyle v^2+\frac{1}{2}xa=\frac{2\pi \sigma R^2}{m_0}$

Продифференцируем его еще раз, учитывая, что производная константы есть ноль:

$\displaystyle 2va+\frac{1}{2}va+\frac{1}{2}xa'=0$

$\displaystyle 2.5va+\frac{1}{2}xa'=0$

Если а=const, то a'=0, однако v≠0 и равенство не выполняется, если v=const, то a=0 и a'=0 и равенство выполняется, таким образом пленка должна двигаться равномерно, с ускорением а=0, уравнение ее движения принимает вид:

$\displaystyle v^2=\frac{2\pi \sigma R^2}{m_0}$

Откуда, кинетическая энергия пленки к концу схлопывания:

$\displaystyle W_k=\frac{m_0}{2}\frac{2\pi \sigma R^}{m_0}=\pi \sigma R^2$

Отношение кинетической энергии к полной:

$\displaystyle \frac{W_k}{W}=\frac{\pi \sigma R^2}{2\pi \sigma R^2} =\frac{1}{2}$

Таким образом, только половина полной энергии перейдет в кинетическую.