Question

*ЗАДАЧА * Медный стержень длиной l=1.5м закреплен с одного конца, на котором расположен источник продольных колебаний с частотой =8675 гц. Источник возбуждает в стержне бегущую волну е(x, t) =3cos (amegat-kx), мкм.плотность меди p=8900 модуль упругости Е=123Гпа.Получить уравнение стоячей волны., возниквющей в результате наложения бегущей и отраженной от противоположного свободного конца стержня. Определить длину стоячий волны, амплитуду, а так же расположение узлов и пучностей на длине стержня. Изобразить графический возникающую волну для моментов времени t1=T/4 и t2=T

Answer 1

Прежде всего найдем скорость продольной волны

$c=\sqrt{\frac{E}{\rho} }=\sqrt{\frac{123*10^9}{8900} }=3718$ м/с

Циклическая частота

$\omega=2\pi \nu=2\pi *8675=17350\pi$ рад/с

Волновое число

$k=\frac{\omega}{v}=\frac{17350\pi }{3718}=4.67\pi$ 1/м

Тогда уравнение бегущей волны примет вид

$\xi(x,t)=3cos(17350\pi t-4.67\pi x)$

Эта волна распространяется в прямом направлении. В свободном конце должна быть пучность смещения. От свободного конца волна должна отразиться в фазе (для того, чтобы возникла пучность). Значит уравнение отраженной волны имеет вид

$\xi'(x,t)=3cos(17350\pi t+4.67\pi x)$

Их сумма и даст уравнение стоячей волны

$\xi_c(x,t)=\xi(x,t)+\xi'(x,t)=3cos(17350\pi t-4.67\pi x)+3cos(17350\pi t+4.67\pi x)=$

$=6cos(17350\pi t)cos(4.67\pi x)$

Длина стоячей волны равна половине длины бегущей волны

$\lambda_c=\frac{\lambda}{2}=\frac{v}{2\nu}=\frac{3718}{2*8675}=0.21$ м

Амплитуда стоячей волны равна удвоенной амплитуде бегущей, т.е. 6 мкм

Узлы $x_y=\pm (n+\frac{1}{2} )\frac{\lambda}{2}$

На длине стержня узлы будут в точках 0,105; 0,315; 0,525; 0,735; 0,945; 1,155; 1,365 метров

Пучности $x_p=\pm\frac{n}{2}\lambda$

Их координаты 0; 0,21; 0,42; 0,63; 0,84; 1,05; 1,26; 1,5 метра