Поскольку сосуд охлаждается медленно, процесс можно считать квазистатическим, то есть в любой момент времени система находится в состоянии термодинамического равновесия, поэтому давления в обоих частях сосуда равны. Запишем уравнение состояния идеального газа для каждой из частей сосуда. Для первой части, в которой находится воздух, справедливо соотношение p⋅V1=νвозд⋅R⋅T,(1)
а для второй половины, где могут находиться пар и вода, выполняется соотношение
p⋅V2=νпара⋅R⋅T.(2)
Разделив выражение (1)
на (2), получаем, что
V1V2=νвоздνпара.(3)
Отсюда видно, что поршень будет двигаться только лишь в том случае, когда изменяется количество пара. При этом объём второго сосуда увеличивается при испарении пара, а уменьшается при конденсации. Поскольку сосуд по условию охлаждается, это будет приводить к конденсации пара. Объём второго сосуда будет уменьшаться, а первого −
увеличиваться.
Пусть ν0пара − начальное количество пара во второй части сосуда, а ν∗пара − его количество к моменту, когда поршень делит сосуд на равные части. Запишем уравнение (3) для этих двух моментов. Выходит, что⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪14=νвоздν0пара,11=νвоздν∗пара.
Получается, что
ν∗пара=1/4 ν0пара,
то есть сконденсировалось 3/4
всего пара или 75%.
скорость большего шара обозначим v1, меньшего - v2
тогда по закону сохранения импульса и энергии получаем систему уравнений
mu = 3 mv1 + mv2 (!)
mu² = 3 mv1² + mv2²
перепишем в виде
u - v2 = 3v1
u² - v2² = 3v1²
разделим второе уравнение на первое
v1 = u + v2
с другой стороны, из уравнения (!)
v1 = (u - v2)/3
приравнивая их, находим
v2 = -u/2 (следовательно, меньший шар изменил направление движения)
тогда v1 = u - u/2 = u/2
кинетическая энергия меньшего шара перед ударом Ek1 = (m u²)/2
после удара Ek2 = (m u²)/8
ответ на вопрос задачи Ek2/Ek1 = 1/4