Question

С горизонтальной поверхности бросают мяч с начальной скоростью 40 м/с под углом 40 0 к горизонту. На расстоянии 60 метров от точки броска начинается горизонтальный уступ высотой 25 м. Вычислите расстояние между первым и вторым ударом мяча о горизонтальную поверхность уступа. Удары о поверхность считать абсолютно упругими.

Answer 1

ответ: ≈ 114,24 ≈ 114 м

Пусть мяч бросили с начальной скорость v₀ под углом α. Высота уступа h₁ ; уступ начинается на расстоянии S₁.

При первом отскоке, мяч начнет лететь с новым углом, по новой параболической траектории. Расстоянием между первым и вторым отскоком мяча будет максимальная длина полёта мяча между первым и вторым отскоком. По формуле, максимальную длину полёта можно найти:

$L = \frac{v_0^2sin2\alpha }{g}$

Значит, чтобы ответить на вопрос, нам нужна скорость мяча в момент первого отскока и угол, под которым мяч полетел после первого отскока.

1) Со скоростью просто:

По ЗСЭ, энергия мяча в момент броска равна энергии мяча во время первого отскока:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1$

где v₁ - скорость мяча в момент отскока.

Вынесем v₁:

$v_1^2 = v_0^2 - 2gh_1\\\\v_1 = \sqrt{v_0^2 - 2gh_1}$

v₁ = √(40^2 - 2 * 10 * 25) = √1100 ≈ 33.2 м/с

2) С углом посложнее. Заранее обозначим угол, который нам нужно найти как α₁.

Если мы нарисуем первую траекторию (параболу) полета мяча, и в точке первого отскока проведем вектор скорости мяча и соответствующие проекции вектора скорости на оси X и Y, то в получившемся прямоугольном треугольнике справедливы следующие соотношения:

$sin\alpha _1 = \frac{v_y}{v_1} ; cos\alpha _1 = \frac{v_x}{v_1}$

v(x) найти легче, чем v(y) (потому что v(x) постоянно), поэтому будем искать косинус нужного нам угла.

v(x) в момент начального броска:

$v_x = v_0cos\alpha$

v(x) = 40 * cos(40°) ≈ 30,6 м/с

cosα₁ = 30,6 / 33,2 ≈ 0,922

Скорость после первого отскока и угол отскока (точнее его косинус) найдены! Осталось подсчитать sin2α при известном cosα:

sin2α = 2sinαcosα

sinα = √(1 - cos²α) = √(1 - 0,922²) ≈ 0,387

sin2α = 2 * 0,387 * 0,922 ≈ 0,714

Теперь подставляем всё в самую первую формулу:

L = (40^2 * 0,714) / 10 ≈ 114,2 м ≈ 114 м