Question

Два человека стоят на расстоянии h1 и h2 от стенки и l — друг от друга. Один из них сказал слово, другой услышал конец слова, совпавшее с началом эха этого же слова. Скорость звука c. Определите длительность звучания слова.

Answer 1

$\dfrac{\sqrt{l^2+4h_1h_2}-l}{c}$

Объяснение:

Пусть для определенности $h_2\geqslant h_1$ и слово говорит человек, стоящий в точке A (см. рисунок)

1) Напрямую звук пойдёт по зеленому пути AB, его длина по условию l. Тогда если длительность звучания слова t, то конец слова второй услышит через время $t+l/c$.

2) Эхо распространится вдоль красного пути AXB, это кратчайший путь, соединяющий A и B, касающийся стенки. Его можно представлять как кратчайший путь от воображаемого человека, который стоит за стеной на таком же расстоянии, что и первый, в точке $A_1$. Длину этого пути найдём по теореме Пифагора.

- Расстояние $x$ вдоль стены между людьми находим из маленького треугольника сверху:

$l^2=(h_2-h_1)^2+x^2\\x^2=l^2-(h_2-h_1)^2$

- Длину $l_1$ отрезка $A_1B$ — из треугольника $A_1BC$:

$l_1^2=x^2+(h_1+h_2)^2=l^2+4h_1h_2\\l_1=\sqrt{l^2+4h_1h_2}$

Начало слова второй услышимт через $l_1/c$

Тогда

$\displaystyle t+\frac lc=\frac{l_1}c\\t=\frac{l_1-l}c=\dfrac{\sqrt{l^2+4h_1h_2}-l}{c}$