Question

На каком расстоянии от поверхности вращается спутник вокруг Марса, если скорость спутника равна 3480\ м/с3480 м/с, масса Марса — 6{,}39 \cdot 10^{23}\ кг6,39⋅1023 кг, радиус Марса — 3389{,}5\ км3389,5 км?

Answer 1

Для решения данной задачи, нам понадобится закон всемирного тяготения, который устанавливает зависимость между силой тяготения, массой тела и его расстоянием от центра притяжения. Закон всемирного тяготения выглядит следующим образом: F = (G * m1 * m2) / r^2, где F - сила тяготения, G - гравитационная постоянная, равная 6.67430 * 10^-11 Н * м^2 / кг^2, m1 и m2 - массы двух тел (в данном случае масса спутника и Марса), r - расстояние между двумя телами. В данной задаче расстояние r это сумма радиуса Марса и высоты спутника над его поверхностью (h). Так как спутник вращается вокруг Марса с постоянной скоростью, то равнодействующая сил, действующая на спутник, равна нулю. Получаем следующее уравнение: Fцентростремительная - Fтяготения = 0, где Fцентростремительная - сила центростремительная, Fтяготения - сила тяготения. Центростремительная сила равна m * v^2 / r, где v - скорость спутника. Подставим значения в уравнение и найдем значения силы центростремительной и силы тяготения: m * v^2 / r - (G * m1 * m2) / (r + R)^2 = 0. Подставим известные значения: m * (3480^2) / r - (6.67430 * 10^-11 * m * 6.39 * 10^23) / (r + 3389.5 * 10^3)^2 = 0. Теперь нам необходимо решить полученное уравнение относительно неизвестного значения r. Для этого выполним несколько алгебраических действий: m * (3480^2) / r = (6.67430 * 10^-11 * m * 6.39 * 10^23) / (r + 3389.5 * 10^3)^2, m * (3480^2) * (r + 3389.5 * 10^3)^2 = (6.67430 * 10^-11 * m * 6.39 * 10^23) * r, (r + 3389.5 * 10^3)^2 = (6.67430 * 10^-11 * 6.39 * 10^23 * 3480^2) / m, r + 3389.5 * 10^3 = sqrt((6.67430 * 10^-11 * 6.39 * 10^23 * 3480^2) / m), r = sqrt((6.67430 * 10^-11 * 6.39 * 10^23 * 3480^2) / m) - 3389.5 * 10^3. Теперь можем подставить известные значения и рассчитать расстояние, на котором вращается спутник вокруг Марса. r = sqrt((6.67430 * 10^-11 * 6.39 * 10^23 * 3480^2) / (3480 / 9.81)) - 3389.5 * 10^3, r = sqrt(374.317865 * 10^9) - 3389.5 * 10^3, r = 19358 \ км. Таким образом, спутник вращается на расстоянии приблизительно 19358 км от поверхности Марса.