Question

Конденсатор ёмкостью 2 мкф, индуктивность 4 гн и активное сопротивление 1,9 ком соединены последовательно. при какой частоте переменного тока в данной цепи будет наблюдаться резонанс. какая мощность будет выделяться в цепи, если эффективное напряжение будет равно 220 в? написать уравнения зависимости тока и напряжения от времени.

Answer 1

1. Для определения резонансной частоты контура служит формула Томсона.
$\displaystyle T=2\pi \sqrt{LC}$
Здесь Т - период колебаний контура, L - индуктивность контура, С - емкость контура.
Частота колебаний определяется, как величина, обратная их периоду и окончательно получаем
$\displaystyle \nu= \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}= \frac{1}{2\pi\sqrt{4\cdot2\cdot10^{-6}}}\approx 56.3$ (Гц)

2.Какая мощность будет выделяться в цепи, если эффективное напряжение будет равно 220 В?

а) Режим работы в цепи переменного тока зависит от частоты питающего напряжения. Частота не задана, но напряжение 220В - стандартная величина для однофазного питания, поэтому будем в дальнейшем считать, что речь идет о сети питания с промышленной частотой 50 Гц.
Определим индуктивное и емкостное сопротивления:
$\displaystyle X_L=\omega L = 2\pi\nu L=2\pi\cdot50\cdot4\approx 1256.6 \\ X_C= \frac{1}{\omega C}= \frac{1}{2\pi\nu C}=\frac{1}{2\pi\cdot50\cdot2\cdot10^{-6}}\approx 1591.5$
Модуль полного сопротивления определится по формуле
$\displaystyle Z= \sqrt{R^2+(X_l-X_c)^2}= \sqrt{1900^2+(1256.6-1591.5)^2}\approx 1929.3$
Теперь определим полную мощность в цепи:
S = U²/Z = 220² / 1929.3 ≈ 25.1 (Вт);

б) Но возможно, что речь шла о расчете мощности в режиме резонанса. Тогда все существенно проще. При резонансе в последовательном колебательном контуре его реактивное сопротивление равно нулю и можно производить расчет, как для цепи постоянного тока.
S = U²/R = 220² / 1900 ≈ 25.5 (Вт)

3. Написать уравнения зависимости тока и напряжения от времени.
Снова непонятно, о каком режиме цепи речь. Определим его для режима резонанса
U=Um×sin(ωt+φ);
Um=220√2 ≈ 311.1 (В).
ω=2·π·ν = 2π×56.3 ≈ 353.7
φ - некий начальный сдвиг фазы, который можно положить, например, равным нулю.
U=311.1sin(353.7·t)
Ток в цепи при резонансе чисто активный и находится по закону Ома:
I = U/R = 220/1900 ≈ 0.116 (A);
Окончательно, переходя к амплитудному значению тока
I=0.116√2·sin(353.7·t) ≈ 0.164sin(353.7·t)

Расчет токов и напряжений в режиме, отличном от резонансного, насколько я знаю, в школах не проходят, поэтому я также не буду его делать для частоты 50 Гц.

Answer 2

1)частоту находим из формулы Томпсона: v=1/2п*sqrt LC=57 Гц; 2)Для переменного тока существует аналогичные законы Ома для полного сопротивления: P=U*корень из 2*sqrt (R^2+(wL-1/wC)^2)=220*(3,61*10^6+(1432-1397)^2)=(приблизительно)=1900*220*1.4=585 200 Вт; 3)U=308sin(358t); I=q(t)'=CU/LC*sin(1/LC*t)=0.22sin(358t)