Question

Один не хорошо воспитанный мальчик, желая часть выделенных ему средств, бежит вниз по эскалатору метро, поднимающего пассажиров вверх. при этом он насчитывает n1 ступенек. желая поддерживать свою спортивную форму, по дороге обратно мальчик бежит вверх по тому же эскалатору, идущему вверх, и насчитывает при этом n2 ступенек. какое количество ступенек n3 насчитал бы мальчик на неподвижном эскалаторе, если его подготовка позволяет ему бегать с одинаковой относительно ленты эскалатора скоростью как вниз, так и вверх?

Answer 1

Скорость не очень хорошо воспитанного мальчика: v, м/с.

Скорость движения эскалатора:   v₀, м/с

Расстояние между краями эскалатора:  S, м

Тогда мальчик затратит время на преодоление расстояния S:

       против хода движения эскалатора -  t₁ = S/(v - v₀)  с.

       по ходу движения эскалатора   -   t₂ = S/(v + v₀)  c.

Примем расстояние S за 1. Тогда:

        N₁ = t₁ = 1/(v-v₀)    - Количество ступенек против хода эскалатора

        N₂ = t₂ = 1/(v+v₀)  - Количество ступенек по ходу эскалатора

        N₃ = t₃ = 1/v = ?  - Количество ступенек на неподвижном эскалаторе.  

Замену можно произвести, исходя из того, что скорость мальчика одна и та же, а все ступеньки одинаковые. Следовательно, большее время движения по эскалатору предусматривает большее реально пройденное расстояние и, соответственно, большее количество ступенек..))

Составляем систему:

$\displaystyle \tt\left \{ {{\cfrac{1}{v-v_{0}}=N_{1}} \atop {\cfrac{1}{v+v_{0}}=N_{2}}} \right.\\\\\\\left \{ {{v-v_{0}=\cfrac{1}{N_{1}}} \atop {v+v_{0}=\cfrac{1}{N_{2}}}}\right.$

Сложим первое и второе уравнения:

$\displaystyle \tt v-v_{0}+v+v_{0}=\frac{N_{2}+N_{1}}{N_{2}\cdot N_{1}}\\\\\\v=\frac{N_{1}+N_{2}}{2N_{2}\cdot N_{1}} \ \ \ \ \ = \ \ \ \ N_{3}= \frac{1}{v}=\frac{2N_{1}\cdot N_{2}}{N_{1}+N_{2}}$

Таким образом, поднимаясь (или спускаясь) по неподвижному эскалатору, не очень хорошо воспитанный мальчик насчитает:

$\displaystyle \tt N_{3}= \frac{1}{v}=\frac{2N_{1}\cdot N_{2}}{N_{1}+N_{2}}$   ступенек.