Question

Лампа массой т = 800 г подвешена на двух пружинах, кото- рые были отрезаны от одной и той же длинной пружины (см. рису- нок). Длина меньшей пружины в нерастянутом состоянии (= 20 см. Жесткости пружин равны к = 30 H/м и 3к. На каком расстоянии от потолка висит лампа?

Answer 1

1)Для начала определим общую жесткость двух пружин. Приложим к нижней пружине силу FF и дождемся пока система растянется и придет в равновесие. Тогда на нижнюю пружину со стороны верхней действует такая же сила FF (второй закон Ньютона), но по третьему закону Ньютона на верхнюю пружину будет действовать такая же сила по модулю, то есть FF . Суммарное удлинение: \frac{F}{k}+\frac{F}{3k}=\frac{F}{k_{sys}}

k

F

+

3k

F

=

k

sys

F

, откуда общая жесткость равна k_{sys}=\frac{3k}{4}k

sys

=

4

3k

.

2) Мысленно разделим целую пружину на nn одинаковых частей. Точно так же приложим силу FF . Тогда, очевидно, в силу однородности пружины каждая часть растянется на одинаковую длину. Выберем первые mm частей, считая сверху. Получим две пружины, верхняя состоит из mm частей, а нижняя — из n-mn−m . Из предыдущих соображений ясно, что жесткости этих пружин соотносятся обратно пропорционально их длинам. Поскольку в нашем случае пружины сделаны из одной большой, то к ним применимы эти рассуждения. Поэтому длина большей пружины в нерастянутом состоянии равна 20*3=60 см. Общая длина равна 80 см. Пружина растянется на \Delta x=\frac{mg}{k_{sys}}=\frac{4mg}{3k} = 16/45\; \textbf{m}Δx=

k

sys

mg

=

3k

4mg

=16/45m . Итого: 0,8\;\textbf{m}+16/35\;\textbf{m}\approx1,16\;\textbf{m}0,8m+16/35m≈1,16m