PΔ=36, треугольник правильный, значит сторона треугольника равна : 36:3=12. Опустим высоту в треугольнике до пересечения с окружностью. Соединим полученную точку с одной из оставших вершин заданного треугольника. Получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является диаметром окружности. Угол между высотой треугольника и его стороной равен 30°. Высота в правильном треугольнике является и биссектрисой и медианой. 60°:2=30°. Вычислим диаметр окружности: d=12:cos30°=12:(√3/2)=24/√3=24·√3/√3·√3=24√3/3=8√3. Диагональю квадрата является диаметр окружности. Обозачим сторону квадрата через а. По теореме Пифагора: a²+a²=d², 2a²=(8√3)². 2a²=64·3, a²=32·3=16·2·3, a=√16·6=4√6. a=4√6.
Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD. Искомое расстояние - длина перпендикуляра ВН, опущенного из В на СD. AB и CD - хорды, перпендикулярны прямой ОО1, содержащей диаметры окружностей. AB||CD Пусть центр меньшей окружности - О, большей - О₁. Проведем радиусы r и R в точки касания. Проведем к О₁D отрезок ОК||BD. Т.к. r ||R, и оба перпендикулярны ВD, то ОКВD- прямоугольник. ОK=BD О₁К=R-r=45-36=9 OO₁=R+r=45+36=81 Из ∆ OКО₁ по т.Пифагора OК=√(81²-9²)=√6480=36√5 ∠HBD=∠KOO₁- заключены между взаимно параллельными сторонами. ∆ OKO₁ ~ ∆ BHD cos∠KOO₁=OK/OO₁ cos∠HBD=cos∠KOO₁=(36√5):9=(4√5):9 BH=BD•cos∠HBD=(36√5)•(4√5):9=80 (ед. длины)
AP = CK (по условию)
BC = AD
Угол BCK = углу PAD, как накрест лежащие, следовательно треугольник ADP = треугольнику BKC по 1 признаку, следовательно ADP =CBK.