Пусть О - точка пересечения медиан.
Если взглянуть на хорошо нарисованный чертеж (то есть такой, где медианы треугольника взаимно перпендикулярны), можно увидеть три прямоугольных треугольника (их там больше, но нам только эти нужны) АОВ, АОЕ и BOD.
если обозначить КОРОТКИЕ ОТРЕЗКИ медиан, как y и z (ОD = z, при этом по свойству медиан ОА = 2*z, и так же OE = y, поэтому ОВ = 2*y), а неизвестную сторону АВ = х, то из этих треугольников сразу получается 3 равенства:
(2*y)^2 + (2*z)^2 = x^2; то есть х^2 = 4*(y^2 + z^2);
z^2 + (2*y)^2 = BD^2 = 4;
(2*z)^2 + y^2 = AE^2 = (3/2)^2 = 9/4;
Два последних уравнения можно честно решить, найти y и z, и вычислить х. Но раз нам надо только найти сумму квадратов y и z, можно сложить эти 2 последних уравнения, и мы сразу получим ответ.
5*(y^2 + z^2) = 4 + 9/4 = 25/4; (y^2 + z^2) = 5/4; x^2 = 5;
ответ: АВ = корень(5)
Доказательство:
Т.к. ABCD - параллелограмм, то AB//CD и AD//BC.
∠ECD = ∠CEB как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей EC.
∠EDC = ∠DEA как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей ED.
Т.к. EC = ED , то ΔECD - равнобедренный с основанием CD.
Значит ∠ECD = ∠EDC как углы при основании.
Следовательно ∠CEB = ∠DEA
ΔEBC = ΔEAD по двум сторонам и углу между ними (EB = EA по условию.)
См. рисунок 2.
Из равенства треугольников EBC и EAD следует, что ∠EBC = ∠EAD
и ∠BCE = ∠ADE
∠BCD = ∠BCE + ∠ECD
∠ADC = ∠ADE + ∠EDC
Следовательно ∠BCD = ∠ADC
Продолжим сторону AD влево.
∠FAB = ∠ABC как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AB.
∠FAB = ∠ADC как соответственные при параллельных прямых AB и DC и секущей AD
Собирая все вместе получаем, что ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB
Получается, что ABCD - параллелограмм в котором все углы равны. Следовательно ABCD - прямоугольник