Question

Даны точки а(4 -3 5) b(6 -7 5) c(5 2 1) d(3 6 1) докажите что abcd параллелограмм​

Answer 1

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно проверить два условия:

1. Противоположные стороны параллельны.
2. Диагонали пересекаются в их средних точках.

Начнем с первого условия:

1.1 Проверим, что сторона AB параллельна стороне CD:
Для этого построим векторы AB и CD, и проверим, что они коллинеарны (сонаправлены).
Вектор AB:
AB = (6 - 4, -7 - (-3), 5 - 5) = (2, -4, 0)

Вектор CD:
CD = (3 - 5, 6 - 2, 1 - 1) = (-2, 4, 0)

Мы видим, что векторы AB и CD имеют одинаковые значения для x и y, и равное значение для z (0). Это означает, что векторы коллинеарны и, следовательно, сторона AB параллельна стороне CD.

1.2 Проверим, что сторона AD параллельна стороне BC:
Для этого построим векторы AD и BC, и проверим, что они коллинеарны (сонаправлены).
Вектор AD:
AD = (3 - 4, 6 - (-3), 1 - 5) = (-1, 9, -4)

Вектор BC:
BC = (5 - 6, 2 - (-7), 1 - 5) = (-1, 9, -4)

Мы видим, что векторы AD и BC имеют одинаковые значения для x, y и z (-1, 9, -4). Это означает, что векторы коллинеарны и, следовательно, сторона AD параллельна стороне BC.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны AB и CD, а также стороны AD и BC параллельны.

Теперь перейдем ко второму условию:

2. Проверим, что диагонали AC и BD пересекаются в их средних точках:
Для этого найдем координаты средних точек диагоналей AC и BD.

Средняя точка диагонали AC:
AC_m = ((4 + 5)/2, (-3 + 2)/2, (5 + 1)/2) = (9/2, -1/2, 6/2) = (4.5, -0.5, 3)

Средняя точка диагонали BD:
BD_m = ((6 + 3)/2, (-7 + 6)/2, (5 + 1)/2) = (9/2, -1/2, 6/2) = (4.5, -0.5, 3)

Мы видим, что координаты средних точек диагоналей AC и BD совпадают, что означает, что диагонали пересекаются в одной точке.

Таким образом, мы доказали, что все условия параллелограмма выполняются для четырехугольника ABCD, и он является параллелограммом.

Ответ: ABCD является параллелограммом.