Сечение полушара плоскостью "другого" основания - это (само собой) окружность, причем это окружность, описанная вокруг правильного треугольника, который является этим основанием. Радиус этого сечения r, высота призмы h (то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения) и радиус шара R = 8 связаны теоремой Пифагора, то есть r^2 = R^2 - h^2; Сторона правильного треугольника связна с радиусом описанной окружности известным элементарным соотношением r^2 = a^2/3; а площадь S основания призмы равна S = a^2*√3/4 = r^2*3√3/4 = (3√3/4)*(R^2 - h^2); Объем, само собой, равен V = S*h = (3√3/4)*(R^2 - h^2)*h; В точке экстремума V'(h) = (3√3/4)*(R^2 - 3*h^2) = 0; то есть h = R/√3; Поскольку V(h) = 0; при h = 0 и h = R; V(h) > 0 при 0 < h < R; и экстремум только один, то экстремум - это максимум. Значение V в точке максимума равно V = R^3/2;
Ну их достаточно много. Мы учили эти.. Вертикальные углы равны. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие или соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Радиус этого сечения r, высота призмы h (то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения) и радиус шара R = 8 связаны теоремой Пифагора, то есть
r^2 = R^2 - h^2;
Сторона правильного треугольника связна с радиусом описанной окружности известным элементарным соотношением
r^2 = a^2/3;
а площадь S основания призмы равна
S = a^2*√3/4 = r^2*3√3/4 = (3√3/4)*(R^2 - h^2);
Объем, само собой, равен
V = S*h = (3√3/4)*(R^2 - h^2)*h;
В точке экстремума
V'(h) = (3√3/4)*(R^2 - 3*h^2) = 0; то есть h = R/√3;
Поскольку V(h) = 0; при h = 0 и h = R; V(h) > 0 при 0 < h < R; и экстремум только один, то экстремум - это максимум. Значение V в точке максимума равно
V = R^3/2;