Получается правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания a = 6√2 см и длиной боковых рёбер b = 10 см
Диагональ основания по т. Пифагора
d² = a² + a² = 2(6√2)² = 2*36*2 = 144
d = √144 = 12 см
Сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания - равносторонний треугольник с основанием 12 см и боковой стороной 10 см
Разделим его пополам высотой из вершины к основанию.
Получим два прямоугольных треугольника, с одним катетом 12/2 = 6 см, гипотенузой 10 см, и высотой h. По Пифагору
h² + 6² = 10²
h² + 36 = 100
h² = 64
h = √64 = 8 см
Это и есть расстояние от вершины до плоскости квадрата
Продлим стороны АВ и СД до пересечения.
Получим равносторонний треугольник АОД
Пусть его сторона равна а
Отрезки
АВ = 1
ВС = √3
СД = 2
Тогда в синем треугольнике ОВС по теореме косинусов
ВС² = ОВ² + ОС² - 2*ОВ*ОС*cos(60°)
3 = (a-1)² + (a-2)² - 2*(a-1)*(a-2)*1/2
3 = a²-2a+1 + a²-4a+4 - a²+3a-2
3 = a²-3a+3
a² - 3a = 0
a₁ = 0 - плохой корень, отбросим
a₂ = 3 - хороший корень :)
Т.е. стороны ΔОВС:
ОВ = 3-1 = 2
ОС = 3-2 = 1
ВС = √3
Треугольник прямоуголен:
2² = (√3)² + 1²
4 = 3 + 1
∠ВСО = 90°
∠ВСД = 180 - 90 = 90°
∠ОВС = 90 - 60 = 30°
∠АВС = 180 - 30 = 150°