На сторонах прямоугольного треугольника АВС (<C=90°) построены квадраты. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна 400 см², а разница площадей квадратов, построенных на катетах, равна 112 см² .Найти площадь треугольника.
Объяснение:
Пусть катет АС=у , ВС=х, при чем х>0 ,y>0 .
По т Пифагора для ΔАВС х²+ у²=400.
С другой стороны S1=у², S2=х² и по условию S2- S1=112.
Тогда х²-у²=112. Получили систему
{ х²+ у²=400,
{ х²-у²=112. Почленно сложим х²=256 , x=16,
Почленно вычтем , получим у²=144, у=12.
S( треуг)=1/2*а*в, где а,в- длины катетов.
S( треуг)=1/2*12*16=96(см²)
А) оскільки АВ||DC, а AC січна, то кут АСD і кут ВAC рівні як внутрішньо різносторонні. Тоді кут DAC=90-25=65°
ADB рівний йому.
Розглядаем трикутник АОD. DAC=65°, ADB=65°(оскільки цей трикутник рівнобедренний, бо утворений діагоналями прямокутника).
Тоді кут AOD=180-(65+65)= 50°.
б) з точки О опускаємо перпендикуляр ОК на сторону АВ. На сторону ВС опускаєм перпендикуляр ОМ.
ОК:ОМ= 2:3.
ОК дорівнює половині сторони АВ.
ОМ дорівнює половині сторони ВС.
Тому АВ:ВС=2ОК:2ОМ=4:6.
Р=(АВ+ВС)×2.
Нехай АВ=4х, а ВС=6х, тоді
40=(4х+6х)×2
40=10х×2
40=20х
х=40:20
х=2
АВ=4×х=4×2=8.
ВС=6×х=6×2=12
в) Дано: трикутник АВС.
СМ-медіана. СМ=1/2 АВ.
Довести: трикутник АВС-прямокутний.
Будуємо коло з центром в точці М. Радіус = МС.
АВ є діагоналлю даного кола. Вписаний кут, що опирається на діагональ є прямим. Тобто кут АСВ є прямим.