Question

Хелп прямая пересекает строны AB и BC треугольника ABC в точках M и K соответственно. Вершины данного треугольника равноудалены от прямой MK. Докажите, что точки М и К являются серединами сторон AB и BC соответсвенно. ​

Answer 1

Объяснение:

Расстояние от точки до прямой это длинна перпедикуляра от точки до прямой

1)Проведем МК, пусть АА₁⊥МК, ВВ₁⊥МК, СС₁⊥МК.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔАА₁М и ΔВВ₁М :

      ∠А₁АМ=90- ∠А₁МА

      ∠В₁ВМ=90-∠В₁МВ,    но ∠А₁МА=∠В₁МВ как вертикальные ,

значит  ∠А₁АМ=∠В₁ВМ.

2)Прямоугольные треугольники ΔАА₁М=ΔВВ₁М по катету и острому углу :АА₁=ВВ₁ по условию, ∠А₁АМ=∠В₁ВМ по п 1. В равных треугольниках соответственные элементы равны , значит АМ=МВ.Поэтому М-середина.

3)Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔСС₁К и ΔВВ₁К :

      ∠В₁ВК=90-∠В₁КВ

      ∠С₁СК=90-∠С₁КС,       но ∠С₁КС=∠В₁КВ как вертикальные ,

значит  ∠В₁ВК=∠С₁СК.

4)Прямоугольные треугольники ΔСС₁К=ΔВВ₁МК по катету и острому углу :СС₁=ВВ₁ по условию,  ∠В₁ВК=∠С₁СК  по п 3 , В равных треугольниках соответственные элементы равны , значит ВК=КС . Поэтому К-середина.