Question

Дана трапеция ABCD(AD||BC), диагонали трапеции пересекаются в точке О. Sboc= 4 см², Scod= 8 см². Найдите площадь трапеции. ​

Answer 1

ответ: 36 см²

Объяснение:

Площадь трапеции найдём как сумму площадей четырёх треугольников, образованных диагоналями.

1. Рассмотрим ΔBOC и ΔCOD.

Проведём из точки C перпендикуляр CH к стороне BD. Получим, что CH является высотой и ΔBOC, и ΔCOD. Выпишем формулы площади для этих треугольников:

$S_{\Delta BOC}=\frac{1}{2}CH\cdot OB=4\;cm^2\\ \\ S_{\Delta COD}=\frac{1}{2}CH\cdot OD=8\;cm^2\\ \\$

Найдём частное этих площадей:

$\frac{S_{\Delta BOC}}{S_{\Delta COD}}=\frac{\frac{1}{2}CH\cdot OB}{\frac{1}{2}CH\cdot OD} =\frac{OB}{OD} =\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \;\;\Rightarrow\;\;\frac{OB}{OD}=\frac{1}{2}$

2. ∠BCA = ∠CAD (накрест лежащие углы при BC || AD и секущей AC)

∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие углы при BC || AD и секущей BD)

3. Рассмотрим ΔBOC и ΔAOD:

1) ∠BCA = ∠CAD

2) ∠CBD = ∠BDA

Следовательно, ΔBOC и ΔAOD подобны по двум углам.

Причём k = OC : OA = OB : OD = 1/2  ⇒ OA = 2OC

4. Рассмотрим ΔBOC и ΔAOD. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициенту подобия. То есть:

$k^2=\frac{1}{4} =\frac{S_{\Delta BOC}}{S_{\Delta AOD}} \;\;\Rightarrow\;\;S_{\Delta AOD}=4\cdot S_{\Delta BOC}=4\cdot4=16\;cm^2$

5. Рассмотрим ΔBOC и ΔABO.

Проведём из точки B перпендикуляр BK к стороне AC. Получим, что BK является высотой и ΔBOC, и ΔABO. Выпишем формулы площади для этих треугольников и преобразуем SΔABO:

$S_{\Delta BOC}=\frac{1}{2}BK\cdot OC=4\;cm^2\\ \\ S_{\Delta ABO}=\frac{1}{2}BK\cdot OA=\frac{1}{2}BK\cdot 2OC=2\cdot S_{\Delta BOC}=2\cdot4=8\;cm^2\\ \\$

6. Найдём площадь трапеции:

$S_{ABCD}=S_{\Delta BOC}+S_{\Delta AOD}+S_{\Delta COD}+S_{\Delta ABO}=4+16+8+8=36\;cm^2$