Question

Дано:
ABCDA1B1C1D1- куб, AA1= вектор m, AD= вектор n, AB= вектор l;
K- середина CC1
P- середина AD
Выразить вектор KP, через векторы m,n,l.

Answer 1

Добрый день!

Для решения данной задачи нам потребуется использование формулы для определения координат точки середины отрезка.

Сначала найдем координаты точек K и P. Обозначим координаты точек следующим образом:
A(х₁, у₁, z₁), B(х₂, у₂, z₂), C(х₃, у₃, z₃), D(х₄, у₄, z₄), A1(х₁, у₁, z₁), B1(х₂, у₂, z₂), C1(х₃, у₃, z₃), D1(х₄, у₄, z₄).

Также обозначим векторы:
m(α, β, γ), n(δ, ε, ζ), l(η, θ, ι)

Согласно формуле для координат точки середины отрезка, координаты точки K будут равны среднему арифметическому координат соответствующих точек C и C1:
xₖ = (x₃ + x₃₁) / 2
yₖ = (y₃ + y₃₁) / 2
zₖ = (z₃ + z₃₁) / 2

Аналогично, координаты точки P будут равны среднему арифметическому координат точек A и D:
xₚ = (x₁ + x₄) / 2
yₚ = (y₁ + y₄) / 2
zₚ = (z₁ + z₄) / 2

Теперь распишем вектор KP через векторы m, n и l:
KP = AP - AK

Координаты вектора AP будут равны разности соответствующих координат точек P и A:
xₐ = xₚ - x₁
yₐ = yₚ - y₁
zₐ = zₚ - z₁

Аналогично, координаты вектора AK будут равны разности соответствующих координат точек K и A:
xₐₖ = xₖ - x₁
yₐₖ = yₖ - y₁
zₐₖ = zₖ - z₁

Тогда координаты вектора KP будут равны разности соответствующих координат векторов AP и AK:
xₙ = xₐ - xₐₖ
yₙ = yₐ - yₐₖ
zₙ = zₐ - zₐₖ

Итак, вектор KP, выраженный через векторы m, n и l, будет иметь координаты:
xₙ = (xₚ - x₁) - (xₖ - x₁)
yₙ = (yₚ - y₁) - (yₖ - y₁)
zₙ = (zₚ - z₁) - (zₖ - z₁)

Упростим эти выражения:
xₙ = xₚ - x₁ - xₖ + x₁ = xₚ - xₖ
yₙ = yₚ - y₁ - yₖ + y₁ = yₚ - yₖ
zₙ = zₚ - z₁ - zₖ + z₁ = zₚ - zₖ

Таким образом, вектор KP, выраженный через векторы m, n и l, будет иметь координаты:
xₙ = xₚ - xₖ = [(x₁ + x₄) / 2] - [(x₃ + x₃₁) / 2]
yₙ = yₚ - yₖ = [(y₁ + y₄) / 2] - [(y₃ + y₃₁) / 2]
zₙ = zₚ - zₖ = [(z₁ + z₄) / 2] - [(z₃ + z₃₁) / 2]

Таким образом, вектор KP, выраженный через векторы m, n и l, будет состоять из следующих формул:
xₙ = [(x₁ + x₄) / 2] - [(x₃ + x₃₁) / 2]
yₙ = [(y₁ + y₄) / 2] - [(y₃ + y₃₁) / 2]
zₙ = [(z₁ + z₄) / 2] - [(z₃ + z₃₁) / 2]

Я надеюсь, что мое объяснение было понятным и полным. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!