1213. На одній грані двогранного кута взято дві точки, що віддалені від ребра на 51 см і 34 см. Відстань від першої точки до другої грані дорівнює 15 см. Визначте відстань від другої точки до другої грані.
Ничего задачка, можно нарушить самозапрет на публикации. Вся идея состоит в том, что у треугольников общая описанная окружность, а площадь можно выразить через радиус окружности и углы. S = a*b*sin(γ)/2 = 2*R*sin(α)*2*R*sin(β)*sin(γ)/2 = 2*R^2*sin(α)*sin(β)*sin(γ); Пусть высоты CM BN и AP; (просто таким образом я определяюсь, на какой дуге лежит какая из точек M, P, N, по хорошему это все равно, как обозначить.) Пусть ∠CAB = α = π/3; ∠CBA = β = π/4; Тогда ∠ACM = ∠NBA = π/2 - π/3 = π/6; А ∠APM = ∠ACM; ∠APN = ∠ABN; (высоты ABC являются биссектрисами треугольника MNP, также как для ортотреугольника) То есть ∠NPM = 2*(π/2 - α) = π - 2*α = π/3; Аналогично ∠NPM = 2*(π/2 - β) = π - 2*β = π/2; (получился прямоугольный треугольник) Так как sin(2α) = 2*sin(α)*cos(α), то очевидно, что Smnp/Sabc = 8*cos(α)*cos(β)*cos(α + β); Если подставить, получится 8*cos(π/3)*cos(π/4)*cos(π/3 + π/4); в данном случае надо взять по абсолютной величине, разумеется (то есть не обращать внимания, что cos(7π/2) < 0; а просто отбросить знак) 8*(1/2)*(√2/2)*l(√2/4 - √6/4)l = √3 - 1;
Дано: сторона основания а = 8 см, угол наклона бокового ребра к плоскости основания α = 30°.
Находим высоту h основания: h = a*cos30° = 8√3/2 = 4√3 см. Проекция бокового ребра на основание равна: (2/3)*h = (2/3)*(4√3) = 8√3/3 см. Высота Н пирамиды равна: Н = ((2/3)*h)*tgα = (8√3/3)*√3 = 8 см. Площадь So основания равна So = a²√3/4 = 8²√3/4 = 64√3/4 = 16√3 ≈ 27,71281 см². Периметр основания Р = 3а = 3*8 = 24 см. Находим апофему А, проекция которой на основание равна (1/3)h. (1/3)h = (1/3)*(4√3) = 4√3/3 см. A = √(H² +( (1/3)h)²) = √(8² + (4√3/3)²) = √(64 + (48/9)) = = √(624/9) = 4√39/3 ≈ 8,326664 см. Площадь Sбок боковой поверхности равна: Sбок = (1/2)РА = (1/2)*24*( 4√39/3) = 16√39 ≈ 99,91997 см². Площадь S полной поверхности пирамиды равна: S = So + Sбок = (16√3) + (16√39) = 16(√3 + √39) ≈ 127,6328 см². Объём пирамиды равен: V = (1/3)So*H = (1/3)*(16√3)*8 = (128√3/3) ≈ 73,90083 см³.
Вся идея состоит в том, что у треугольников общая описанная окружность, а площадь можно выразить через радиус окружности и углы.
S = a*b*sin(γ)/2 = 2*R*sin(α)*2*R*sin(β)*sin(γ)/2 = 2*R^2*sin(α)*sin(β)*sin(γ);
Пусть высоты CM BN и AP; (просто таким образом я определяюсь, на какой дуге лежит какая из точек M, P, N, по хорошему это все равно, как обозначить.)
Пусть ∠CAB = α = π/3; ∠CBA = β = π/4;
Тогда ∠ACM = ∠NBA = π/2 - π/3 = π/6;
А ∠APM = ∠ACM; ∠APN = ∠ABN; (высоты ABC являются биссектрисами треугольника MNP, также как для ортотреугольника)
То есть ∠NPM = 2*(π/2 - α) = π - 2*α = π/3;
Аналогично ∠NPM = 2*(π/2 - β) = π - 2*β = π/2; (получился прямоугольный треугольник)
Так как sin(2α) = 2*sin(α)*cos(α), то очевидно, что Smnp/Sabc = 8*cos(α)*cos(β)*cos(α + β);
Если подставить, получится
8*cos(π/3)*cos(π/4)*cos(π/3 + π/4); в данном случае надо взять по абсолютной величине, разумеется (то есть не обращать внимания, что cos(7π/2) < 0; а просто отбросить знак)
8*(1/2)*(√2/2)*l(√2/4 - √6/4)l = √3 - 1;