1. Полупериметр треугольника
р = (18 + 2*15) / 2 = 24 см
Площадь по формуле Герона
S = Корень (24*(24-18)*(24-15)*(24-15)) = 108 кв.см
Площадь через радиус вписанной окружности
S = p*r, где
r = S/p = 108/24 = 4,5 см
Площадь через радиус описанной окружности
S = a*b*c / 4*R, где
R = a*b*c / 4*S = 18*15*15 / 4*108 = 9,375 см
2. Рисуем трапецию АВСД. Так как в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон
АВ + СД = АД + ВС = 100 / 2 = 50 см
АВ = СД = 50 / 2 = 25 см
Из точки С опускаем высоту СК на основание АД
СК = 2*радиус вписанной окружности = 2*12 = 24 см
Площадь трапеции
S = СК * (АД + ВС) / 2 = 24 * 50 / 2 = 600 кв.см
КД = Корень(СД^2 - СК^2) = Корень(25^2 - 24^2) = 7 см
ВС = ((АД + ВС) - 2*КД) / 2 = (50 - 2*7) / 2 = 18 см
АД = 50 - ВС = 50 - 18 = 32 см
Вариант 1: АС = √13 см.
Вариант 2: АС = 5 см.
Объяснение:
В треугольнике АВС АВ=3√2, ВС=1, АС=√2*R (дано). Найти АС.
По теореме синусов: АС/sinB = 2R. => R√2/SinB = 2R.
SinB = √2/2. Значит угол равен 45 градусов и cosB=√2/2. По теореме косинусов:
АС²= АВ²+ВС² - 2АВ*ВС*cosB. Подставляем значения и получаем
АС² =18+1 - 2*3√2*1*√2/2 =13.
АС = √13 см.
Второй вариант:
Угол при вершине В тупой и тогда косинус этого угла отрицательный и равен -√2/2. Тогда
АС²= АВ²+ВС² + 2АВ*ВС*cosB = 18+1 + 6 =25.
АC = √25 = 5 см.
Проверка по теореме о неравенстве треугольника:
Вариант 1: АВ≈4,24; ВС=1; АС≈3,6. 4,24 < 3,6+1. Треугольник существует.
Вариант 2: АВ≈4,24; ВС=1; АС=5. 5 < 4,24+1. Треугольник существует.