Диагональ куба равна 6 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его гранейРЕШЕНИЕ ОТ slava191:a) Пусть ребро куба равно = a (a2 + a2) диагональ основания (синенькая) из т. Пифагора a2 + (a2+a2) = 62 3a2=36 a2=12 a=√12=2√3 б) найдем косинус угла между плоскостью основания и диагональю куба. Так как синенькая прямая лежит в плоскости основания, то нам надо найти cos угла между синенькой и красненькой прямой.
d – синенькая прямая d = √a2+a2 = √2a2=√8·3= √24 = 2√6
По теореме, если у пирамиды равные двугранные углы при основании, тогда в многоугольник основания можно вписать окружность. В постановке задачи - доказать, что точка О - точка пересечения диагоналей, центр вписанной окружности - следовательно в основе лежит четырехугольник.Так как в четырехугольник можно вписать окружность, то это может быть одна из следующих фигур: 1. Квадрат 2. Ромб 3. Четырехугольник, у которого сумма одних противоположных сторон равна сумме других противоположных сторон.Рассмотрим каждый случай. 1. В основе квадрат - если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая и является центром вписанной окружности - у квадрата диагонали являются и биссектрисами его углов, и как известно, диагонали пересекаются в одной точке. Доказано. 2. В основании ромб - диагонали ромба являются и биссектрисами его углов, и пересекаются в одной точке, которая и будет центром вписаной окружности. Доказано. 3. Четырехугольник - произвольный, но в него можно вписать окружность. Биссектрисы такого четырехугольника не будут совпадать с диагоналями, следовательно точка пересечения диагоналей и его центр вписанной окружности - разные точки. Этот случай нам не подходит.
Доказано, что если у пирамиды боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то точка пересечения диагоналей четырехугольника будет центром вписанной окружности.
Пусть ребро куба равно = a
(a2 + a2) диагональ основания (синенькая) из т. Пифагора
a2 + (a2+a2) = 62
3a2=36
a2=12
a=√12=2√3
б) найдем косинус угла между плоскостью основания и диагональю куба.
Так как синенькая прямая лежит в плоскости основания, то нам надо найти cos угла между синенькой и красненькой прямой.
d – синенькая прямая
d = √a2+a2 = √2a2=√8·3= √24 = 2√6
m – красненькая прямая
m = 6 (из условия)
cos(α) = d/m = 2√6/6 = √6/3
ответ:
а) 2√3
б) √6/3
зразок