АВ и AС – отрезки касательных, проведённых к окружности с центром в точке О и радиусом 9 см так, что AВ = см. Найдите угол АОC. ответ дайте в градусах.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ . Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) . Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках: АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁. Сравним полученную пропорцию с данной в условии: АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ Значит, АВ₂ = АВ. Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию). Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказано.
Стороны треугольника равны 13, 20, 21 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на средней по длине стороне Найти площадь полукруга. Пусть дан треугольник АВС. Так как полукруг вписан в треугольник, он касается его большей и меньшей сторон в некоторых точках. Пусть это будут точки К на стороне АВ, равной 21 см, и М на меньшей стороне ВС=13 см. Обозначим центр окружности О и соединим его с вершиной В. Получим два треугольника АОВ и СОВ. Для каждого из них радиус полукруга является высотой, т.к. перпендикулярен к точке касания. Тогда Ѕ ∆ АОВ= АВ*r:2 S ∆ COB= BC*r:2, а площадь треугольника АВС равна сумме этих треугольников. Найдем площадь ∆ АВС по формуле Герона. Ѕ=√ p(p-AB)(p-BC)(p-AC), где р - полупериметр ∆ АВС и равен (21+20+13):2=27 см. Подставив в формула значения сторон, получим Ѕ ∆ АВС=126 см² Составим уравнение: АВ*r:2+ BC*r:2=126 см² r*(АВ+ВС):2=126 r=126*2:34=126/17 Тогда площадь круга πr² с таким радиусом равна π*15876/289, а его половина π*7938/289 см² Приближенно, если принять π=3,14, площадь полукруга будет ≈86,247 см² или, если применить величину π по калькулятору, ≈86,3 см²
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.