Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 3, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 102 см.
1) AB=AD=7 (по условию), значит, треугольник ABD равнобедренный, и углы при основании равны. 2) Рассмотрим треугольник ACD: угол С=90 градусов (так как по условию AС - высота), значит, треугольник ACD прямоугольный. 3) Катет CD прямоугольного треугольника ACD в два раза меньше гипотенузы AD, а мы знаем, что напротив угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть угол CAD=30 градусов, а угол ADC=180-90-30=60 градусов. 4) Из вышесказанного помним, что треугольник ABD - равнобедренный, получаем: угол B=углу D=60 градусов ответ: 60;60
A. Продлим медиану АМ до пересечения с продолжением стороны ВС трапеции. Треугольники АМD и СMQ подобны по двум углам (<MCQ=<MDA как накрест лежащие при параллельных BQ и AD, <CMQ =<AMD как вертикальные). Из подобия имеем: CQ/AD=СM/MD=1 (так как СМ=MD - дано). Итак, CQ=AD. Тогда BQ=BC+CQ. Но BC=(1/3)*AD (дано), а CQ=AD (доказано выше). Следовательно, BQ=(1/3)*AD+AD, отсюда 3BQ=4AD. BQ/AD=4/3. Треугольники АРD и ВРQ подобны по двум углам (<РВQ=<РDA как накрест лежащие при параллельных BQ и AD и секущей BD, <ВРQ =<AРD как вертикальные). Из подобия имеем: ВР/PD=ВQ/AD=4/3. Что и требовалось доказать.
В. Площадь трапеции АВСD Sabcd=(BC+AD)*BH/2=(2/3)AD*BH. Площадь треугольника AMD равна Samd=(1/2)*AD*PH. Площадь треугольника ABD равна Sabd=(1/2)*AD*BH. Площадь треугольника AMD равна Samd=(1/2)*AD*MK. Но МК=(1/2)*ВН (из подобия треугольников AMD и CMQ). Значит Samd=(1/4)*AD*ВН. Площадь треугольника AРD равна Saрd=(1/2)*AD*РТ. Но РТ=(3/7)*ВН (из подобия треугольников AMQ и APD). Значит Saрd=(3/14)*AD*ВН. Площадь треугольника РМD равна Spmd=Samd-Sapd=(1/4-3/14)*AD*ВН =(1/28)*AD*ВН Sbcmp=Sabcd-Sabd-Spmd=(2/3-1/2-1/28)AD*BH = (11/84)*AD*BH. (2/3)AD*BH=56 (дано). Тогда AD*BH=84. Sbcmp=(11/84)*84=11.
2) Рассмотрим треугольник ACD: угол С=90 градусов (так как по условию AС - высота), значит, треугольник ACD прямоугольный.
3) Катет CD прямоугольного треугольника ACD в два раза меньше гипотенузы AD, а мы знаем, что напротив угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть угол CAD=30 градусов, а угол ADC=180-90-30=60 градусов.
4) Из вышесказанного помним, что треугольник ABD - равнобедренный, получаем: угол B=углу D=60 градусов
ответ: 60;60