ответ: arctg(√2tgα).
Объяснение:"Углом между указанными плоскостями MDC и АВС является угол, стороны которого – лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру".
1) ΔДОС: ОД=ОС по свойству диагоналей квадрата,
ОЕ- медиана по условию ⇒ОЕ- высота и ∠ОЕС=90°.
2) ΔОЕС: ∠ОЕС=90°, пусть ДС=а, тогда ОЕ=ЕС=а/2,
ОС²=(а/2)²+(а/2)²=а²/4 + а²/4= 2а²/4= а²/2;
ОC=а:√2= (а√2) :2.
ОМ:ОС=tgα ⇒ ОМ=ОС*tgα= (а√2) :2 * tgα= (а√2*tgα) :2.
3) ΔОМЕ: ОМ⊥ пл.АВС, ОЕ⊂пл.АВС ⇒ ОМ⊥ОЕ.
tg∠ОЕМ = ОМ:ОЕ = (а√2*tgα):2 :а/2= (а√2*tgα):а= √2tgα;
4) ОЕ⊂пл.АВС, ОЕ⊥ДС, МЕ- наклонная к пл.АВС,
ОЕ- проекция МЕ на пл.АВС ⇒
⇒ по теореме о трёх перпендикулярах МЕ ⊥ ДС.
пл.АВС ∩ пл.ДМС= ДС, МЕ ⊂ пл.ДМС и МЕ⊥ДС,
ОЕ ⊂ пл.АВС и ОЕ⊥пл. АВС ,
значит ∠(МДС;АВС)=∠ОЕМ= arctg(√2tgα).
когда угол наклона задан, пусть это Ф, как постоянный для всех граней, то легко показать, что Sboc = Socn/cos(Ф);
В самом деле, у каждой грани есть проекция на основание в виде треугольнка, у которого основание такое же - это сторона основания :), а высота явялется проекцией высоты боковой грани. То есть они связаны соотношением hp/hg = cos(Ф); отсюда получается и соотношение для площадей.
Поэтому модно сказать, что проекцией вершины является центр вписанной окружности, вычислить радиус её (он равен (6 + 8 - 10)/2 = 2;) потом посчитать высоты боковых граней (они равны 2*корень(2);) сочитать площади всех граней, сложить и получить тот же ответ:) Но я все это делать не буду, просто воспользуюсь тем соотношением :)
Socn = 6*8/2 = 24; Sboc = Socn/cos(45) = 24*корень(2);
S = Sosn + Sboc = 24*(1+корень(2));