I. В заданиях 1-7 выберите правильный вариант ответа.
1. каждый из углов равностороннего треугольника равен: 1) 45°; 2) 90°; 3) 60° 4) 70°.
2. Три угла треугольника равны 70°, 37°, 80°. Существует ли такой треугольник?
1) да; 2) нет; 3) не знаю.
3. Два угла треугольника равны по 42°. Какой это треугольник?
1) прямоугольный; 2) остроугольный; 3) равнобедренный.
4. Может ли быть в треугольнике два тупых угла? 1) да; 2) нет; 3) не знаю.
5. Могут ли быть в треугольнике один угол прямой, а два другие – острые?
1) да; 2) нет; 3) не знаю.
6. В треугольнике: 1) против меньшей стороны лежит угол, 2) против меньшего угла лежит сторона.
1) больший, меньшая; 2) меньший, меньшая;
3) больший, большая; 4) меньший, большая.
7. В прямоугольном треугольнике , больше :
1) гипотенуза, катета; 2) катет, гипотенузы
II. Задания 8,9,10,11 с полным ответом.
8. Найдите неизвестный угол.
9. Найдите все неизвестные углы на рисунке.
10. Дан треугольник АВС. Может ли угол А быть тупым, если АВ>АС>ВС?
11. Из точки М биссектрисы тупого угла проведены перпендикуляры МА и МК к сторонам этого угла. Докажите, что МА=МК.
Проведем диагональ AC.
S= S(ABCD) = S(ABC) +S(ADC) =(1/2)absinB + (1/2)cdsinD=
(1/2)absinB + (1/2)cdsin(180° -∠B)=(1/2)absinB + (1/2)cdsin∠B=(1/2)(ab + cd)sin∠B.
* * * ∠D +∠B =180° , sin∠D =sin(180° -∠B) =sin∠B ; cos∠D = - cos∠B * * *
Из треугольника ABC по теореме косинусов :
AC² =a² +b² -2abcos∠B . (1)
Аналогично из треугольника ADC :
AC²= c²+d² -2cdcos∠D ;
AC²=c²+d² +2cdcos∠B . (2)
Из уравнений (1) и (2) получаем :
a² +b² -2abcos∠B = c²+d² +2cdcos∠B ⇒ cos∠B = (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd) .
sin²∠B =1- cos²∠B =1- ((a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))² =
(1- (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))(1+ (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))=
((c+d)² -(a-b)²)/2(ab+cd))((a+b)² -(c-d)²)/2(ab+cd)) =
(c+d +b-a)(c+d +a-b)(a+b+d -c) (a+b+c -d)/ (2(ab+cd))² = || p = (a+b+c+d)/2|| =
(2p -2a)(2p -2b)(2p-2c)(2p-2d) / (2(ab+cd))² =4(p -a)(p -b)(p-c)(p-d) / (ab+cd)² .
sin∠B =2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) .
следовательно :
S =(1/2)(ab + cd)sin∠B =(1/2)(ab + cd)*2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) =
√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)).
2. Если указанный четырёхугольник ABCD можно описать около окружности ,то :
b+d= a+c (сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равны).
p-c = (a+b+c+d)/2 - c =a+c -c =a ; * * * замена b+d = a+c * * *
p-d = (a+b+c+d)/2 - d =b+d -d=b ; * * * замена a+c=b+d * * *
p-a = (a+b+c+d)/2 - a =a+c -a =c ; * * * замена b+d = a+c * * *
p-b = (a+b+c+d)/2 - b =b+d -b=d . * * * замена a+c=b+d * * *
S =√(abcd) .