Обозначим данный треугольник АВС, ∠С=90°, ∠А=30°, ВК- биссектриса ∠АВС, КМ⊥АВ.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
∠САВ=30°, ∠АВС=60°.
Биссектриса делит угол пополам, ⇒∠КВС=∠КВМ=30°
Прямоугольные ∆ КВС=∆ КВМ по острому углу и общей гипотенузу. ⇒
КС=КМ.
В ∆ АКМ катет КМ противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы АК (свойство).
Примем КМ=а
Тогда АК=2а
Так как КС=КМ, то АС=3а
3а=18, а=6 см.
КС=а=6 см, КА=18-6=12 см
* * *
Решить задачу можно разными Например, по т. Пифагора найти АВ и ВС и применить и свойство биссектрисы, которая делит противоположную углу сторону в отношении прилежащих сторон. Можно воспользоваться функциями острых углов, - это зависит от темы, которую в настоящее время проходите, но данное решение самое простое.
Окружность проведена через А, следовательно, А лежит на окружности.
АВ и АD - равные стороны вписанного угла ВАD, поэтому его биссектриса АС проходит через центр окружности и является её диаметром .
∠АВС=∠АDC=90°- опираются на диаметр.
Треугольники АВС и АBD равны по катету и гипотенузе, поэтому площадь каждого равна половине площади четырехугольника АВСD - равна 1,5√3
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
S ∆ АВС=АВ•BC:2
BC=2S:AB=3√3):3=√3
ВС:АВ=tg∠ВАС
tg∠BAC=√3):3=1:√3. Это тангенс угла 30°.
Тогда, так как ∠ВАС=∠DAC, угол ВАD=60°
* * *
Если А - центр окружности, результат будет тот же, но решение немного другим Тогда АВ=АС=AD=R
AB+AD=6 AB=AD=AC=6:2=3⇒ R=3
АС - биссектриса. ∠ВАС=∠DAC⇒∆ ABC=∆ ADC по 1 признаку равенства треугольников.
S∆ ВАС=S∆DAC= S ABCD:2
sin BAC=2•SBAC:AB²⇒
sin BAC=3√3):9=√3:3=1/√3 - это синус 30°
Тогда, т.к. АС биссектриса, угол ВАD=60° Это ответ.
----------
медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине: отсюда..отметим всю гипотенузу 2х, значит медиана = х.
2х-х = 6, х = 6
гипотенуза равна 2х = 2*6 = 12 см