Поскольку расстояние между точками не имеет значения, а важны только углы, рассмотрим окружность.
Первая точка О - центр окружности. Разместим 3 точки на окружности так, чтобы радиусы образовали тупые углы. Четвертую точку на окружности с соблюдением тех же условий разместить не удастся, так как полный угол составляет 360°, а если его разделить на 4 угла, то только 3 могут быть тупыми, а четвертый - обязательно острый (в крайнем случае - все прямые).
Но и при таком расположении точек А, В и С на окружности каждый вписанный угол АВС, ВАС и АСВ будет острым, так как вписанный равен половине центрального:
180° > ∠AOB > 90°
∠ACB = 1/2 ∠AOB, ⇒ 90° > ∠ACB > 45°
Т.е. даже 4 точки разместить так, чтобы любые три из них были вершинами тупоугольного треугольника нельзя.
Следовательно АА₁⊥α, ВВ₁⊥α (смотри прикрепленный рисунок).
Поскольку прямые АА₁ и ВВ₁ перпендикулярны плоскости α, то между собой они параллельны и образуют одну плоскость (через две параллельные прямые проходит плоскость и при чем только одна). Назовем ее β.
Отрезок АВ тоже лежит в плоскости β, т. к. имеет с ней две общие точки (Если две точки прямой (отрезка) лежат в данной плоскости, то и вся прямая (отрезок) лежит в данной плоскости).
Плоскость β пересекает плоскость α по прямой А₁В₁.
Опустим из точки М перпендикуляр на плоскость α.
ММ₁ будет параллельна прямым АА₁ и ВВ₁.
Точка М₁ - точка пересечения ММ₁ с плоскостью α - будет лежать на прямой А₁В₁.
(Это доказывается от противного. Если точка М₁ не лежит на прямой А₁В₁, то ММ₁ пересекает плоскость β. Поскольку ММ₁║АА₁, то и АА₁ тоже будет пересекать плоскость β. Получаем противоречие, т. к. АА₁ лежит в плоскости β. Значит Точка М₁ лежит на отрезке А₁В₁.)
В плоскости β получаем четырехугольник АВА₁В₁, у которого две противоположные стороны параллельны. Следовательно этот четырехугольник - трапеция с основаниями АА₁ и ВВ₁.
Так как основания трапеции перпендикулярны боковой стороне, то трапеция является прямоугольной.
ММ₁ - средняя линия, т.к. М - середина отрезка АВ и параллельна основаниям. Значит и точка М₁ середина стороны А₁В₁.
ответ: ММ₁ = 8 см.