Прорешайте два варианта теста:
А1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности. < С = 60, < А = 50. Найдите градусную меру наименьшей из дуг АС.
Варианты ответов:
1) 140
2) 70
3) 160
4) 120
ответ: ___
А2. Хорды МК и СР пересекаются в точке Н, причем МН =5см, НК = 8см, СН = 10см. Найдите НР.
1) 4
2) 5
3) 12
4) 2
ответ: ___
А3. Точки А, В, и С лежат на окружности с центром в точке О. Найдите угол ВСО, если <АВС = 62, < ОАВ = 53.
Варианты ответов:
1) 18
2) 9
3) 6
4) 10
ответ: ___
А4. Точки А и В лежат на окружности с центром в точке О так, что <АОВ = 20, а длина меньшей дуги АВ равна 88. Найдите длину большей дуги АВ.
Варианты ответов:
1) 748
2) 1496
3) 800
4) 1500
ответ: ___
Дополнительная часть.
В1. Дана окружность с центром в точке О. Хорды МР и СК пересекаются в точке В так, что МВ = 4, ВР = 15, КВ на 7 больше ВС. Найдите КС.
Решение:
ответ:
II вариант:
Обязательная часть.
А1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности. < В = 45, < А = 65. Найдите градусную меру наименьшей из дуг АВ.
Варианты ответов:
1) 160
2) 80
3) 110
4) 120
ответ: ___
А2. Хорды МС и КД пересекаются в точке Р, причем МР =3см, РК = 2см, РС = 8см. Найдите ДР.
1) 6
2) 10
3) 12
4) 24
ответ: ___
А3. Точки А, В, и С лежат на окружности с центром в точке О. Найдите угол ВСО, если <АВС = 22, < ОАВ = 71.
Варианты ответов:
1) 98
2) 49
3) 28
4) 70
ответ: ___
А4. Точки А и В лежат на окружности с центром в точке О так, что <АОВ = 18, а длина меньшей дуги АВ равна 5. Найдите длину большей дуги АВ.
Варианты ответов:
1) 95
2) 190
3) 100
4) 105
ответ: ___
Дополнительная часть.
В1. Дана окружность с центром в точке О. Хорды МР и СК пересекаются в точке В так, что СВ = 8, ВК = 9, РВ в 2 раза больше ВМ. Найдите МР.
Решение:
ответ:
Так как мера дуги не может быть отрицательной, нужно добавить 360 градусов к -10, чтобы получить правильный ответ: -10 + 360 = 350 градусов.
Наименьшая из дуг АС имеет меру 350 градусов.
Ответ: 1) 140
А2. Чтобы найти НР, нужно использовать свойство при пересечении хорд, которое гласит, что произведение отрезков, на которые хорда делит другую хорду, равняется произведению отрезков, на которые эта хорда делит другую хорду. В данном случае у нас есть отрезки МН, НК и СН, поэтому можем записать следующее уравнение: МН * НК = СН * НР.
Подставим значения и найдем НР: 5 * (8 + НР) = 10 * 15. Раскроем скобки и решим уравнение: 40 + 5НР = 150. Вычтем 40 из обеих сторон: 5НР = 110. Разделим обе стороны на 5, чтобы выразить НР: НР = 22.
Ответ: 2) 5
А3. Чтобы найти угол ВСО, нужно использовать свойство углов, образующих дуги на окружности. Угол, который соответствует дуге ВС, будет в два раза меньше угла, который соответствует дуге ВА.
В данном случае у нас есть угол АВС, который составляет 62 градуса, и угол ОАВ, который составляет 53 градуса. Зная это, можем записать следующее уравнение: угол ВСО = (62 - 53) / 2 = 9 / 2 = 4.5 градуса.
Ответ: 2) 9
А4. Чтобы найти длину большей дуги АВ, нужно вычесть длину меньшей дуги АВ из 360 градусов и умножить полученную разность на длину окружности. Длину меньшей дуги АВ можно найти, умножив градусную меру на длину окружности и поделив полученное значение на 360 градусов. В данном случае, у нас есть градусная мера меньшей дуги АВ, равная 88 градусов.
Длина меньшей дуги АВ = (88 * 2 * π * Радиус) / 360. Длину окружности можно найти, используя формулу для длины окружности: 2 * π * Радиус. Заменим значение длины окружности в формуле для меньшей дуги и выразим длину меньшей дуги: Длина меньшей дуги АВ = (88 * (2 * π * Радиус)) / 360 = (88 * Длина окружности) / 360.
Теперь, чтобы найти длину большей дуги АВ, вычтем длину меньшей дуги из 360 градусов и умножим полученную разность на длину окружности: Длина большей дуги АВ = (360 - Длина меньшей дуги АВ) * 2 * π * Радиус / 360.
Ответ: 2) 1496
В1 (дополнительное задание). Чтобы найти КС, нужно использовать свойство при пересечении хорд, которое гласит, что произведение отрезков, на которые хорда делит другую хорду, равняется произведению отрезков, на которые эта хорда делит другую хорду. В данном случае у нас есть отрезки МВ, ВК и ВС, поэтому можем записать следующее уравнение: МВ * ВК = ВС * КС.
Подставим значения и найдем КС: 4 * (8 + 7) = 15 * КС. Раскроем скобки и решим уравнение: 4 * 15 = 15 * КС. 60 = 15 * КС. Разделим обе стороны на 15, чтобы выразить КС: КС = 4.
Ответ: 1) 4
II вариант:
А1. Повторим шаги из первого варианта. Мера угла А составляет 65 градусов, а мера угла В - 45 градусов. Мера дуги АВ = мера угла А - мера угла В = 65 - 45 = 20 градусов.
Ответ: 4) 120
А2. Повторим шаги из первого варианта. У нас есть отрезки МР, РК и РС. Подставим значения и найдем ДР: 3 * (2 + ДР) = 8 * 5. Раскроем скобки и решим уравнение: 3 * 2 + 3 * ДР = 40. 6 + 3ДР = 40. Вычтем 6 из обеих сторон: 3ДР = 34. Разделим обе стороны на 3, чтобы выразить ДР: ДР = 34 / 3 = 11.33 (округлим до ближайшего целого числа).
Ответ: 3) 12
А3. Повторим шаги из первого варианта. У нас есть угол АВС, который составляет 22 градуса, и угол ОАВ, который составляет 71 градус. Угол ВСО = (22 - 71) / 2 = -49 / 2 = -24.5 градуса.
Ответ: 3) 28
А4. Повторим шаги из первого варианта. Мера угла АОВ составляет 18 градусов, а длина меньшей дуги АВ равна 5.
Длина меньшей дуги АВ = (18 * 2 * π * Радиус) / 360 = (18 * Длина окружности) / 360.
Теперь, чтобы найти длину большей дуги АВ, вычтем длину меньшей дуги из 360 градусов и умножим полученную разность на длину окружности: Длина большей дуги АВ = (360 - Длина меньшей дуги АВ) * 2 * π * Радиус / 360.
Ответ: 1) 95
В1 (дополнительное задание). Повторим шаги из первого варината. У нас есть отрезки МР, РК и СВ. Подставим значения и найдем МР: 4 * (9 + 7) = 8 * МР. Раскроем скобки и решим уравнение: 4 * 16 = 8 * МР. 64 = 8 * МР. Разделим обе стороны на 8, чтобы выразить МР: МР = 8.
Ответ: 4) 105