В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом Альфа и гипотенузой с. Если диагональ боковой грани, которая содержит гипотенузу основания, наклонена к плоскости основания под углом Бета, то чему равен объем призмы?
РЕШЕНИЕ:
• Рассмотрим тр. АВС (угол АВС = 90°): соsa = BC/AC => BC = c • cosa sina = AB/AC => AB = c • sina • Рассмотрим тр. АСС1 (угол АСС1 = 90°): tgb = CC1/AC => CC1 = c • tgb • Обьём прямой призмы вычисляется по формуле: V = S ocн. • h V = S abc • CC1 = ( 1/2 ) • BC • AB • CC1 = ( 1/2 ) • c • cosa • c • sina • c • tgb = ( 1/2 ) • c^3 • sina • cosa • tgb = ( 1/2 ) • ( 1/2 ) • 2sinacosa • c^3 • tgb = ( 1/4 ) • c^3 • sin2a • tgb
Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а радиус окружности, вписанной в основание пирамиды - 6 см. Чему равна площадь её боковой поверхности?
РЕШЕНИЕ:
• Апофема - это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины => НР = 10 см • В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат АВСD. Диаметр вписанной окружности в квадрат равен стороне квадрата => ВС = 2R = 2 • 6 = 12 см • Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: S бок. = ( 1/2 ) • P abcd • HP = ( 1/2 ) • 12 • 4 • 10 = 240 cм^2 Или можно найти площадь одной грани данной пирамиды и увеличить его в 4 раза, так как боковые грани правильной пирамиды равны
РЕШЕНИЕ:
• Рассмотрим тр. АВС (угол АВС = 90°):
соsa = BC/AC => BC = c • cosa
sina = AB/AC => AB = c • sina
• Рассмотрим тр. АСС1 (угол АСС1 = 90°):
tgb = CC1/AC => CC1 = c • tgb
• Обьём прямой призмы вычисляется по формуле:
V = S ocн. • h
V = S abc • CC1 = ( 1/2 ) • BC • AB • CC1 = ( 1/2 ) • c • cosa • c • sina • c • tgb = ( 1/2 ) • c^3 • sina • cosa • tgb = ( 1/2 ) • ( 1/2 ) • 2sinacosa • c^3 • tgb = ( 1/4 ) • c^3 • sin2a • tgb
ОТВЕТ: ( 1/4 ) • c^3 • sin2a • tgb