Задачка симпатичная, хотя и простая.
Введем обозначения для краткости записи формул.
АО = m; OC = n; MO = x; OН = y; высоту треугольника АМО, проведенную из вершины А к стороне МО, назовем h1, высоту треугольника ОСН к стороне ОН - h2, высоту трепеции - h;
Тогда из параллельности MH к основаниям следуют соотношения
x/b = m/(m+n);
h1/h = m/(m+n);
x*h1 = b*h*m^2/(m+n)^2;
y/a = n/(m+n);
h2/h = n/(n+m);
y*h2 = a*h*n^2/(m+n)^2;
По условию x*h1 = y*h2; подставляем, получаем
a*n^2 = b*m^2 (с таким же соотношением длин я вчера сталкивался в совершенно другой задаче :)))
n/m = корень(b/a);
x = b/(1+n/m) = b*корень(a)/(корень(a)+корень(b));
y = a*(n/m)/(1+n/m) = a*корень(b)/(корень(a)+корень(b));
складываем, выносим корень(a*b) за скобки, остальное сокращается.
ответ МН = корень(a*b);
2) Выбираем произвольный треугольник. По теореме Пифагора из разницы квадратов гипотенузы и прилежащего катета (боковой стороны и высоты) найдем второй катет (который равняется половине основания):
b = sqrt (a^2 - c^2) = sqrt (225 - 100) sqrt 125.
3) Основание равно 2b = 2 sqrt 125 = 10 sqrt 5 (5 корней из 10).