Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 (рис. 83, а), и докажем, что эти треугольники равны.
Мысленно наложим треугольник ABC так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, сторона AB – с равной ей стороной A1B1, а вершина C и C1 оказались по одну сторону от прямой A1B1 (рис. 83, б).
Так как ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1, то сторона AC наложится на луч A1C1, а сторона BC – на луч B1C1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – совместится с общей точкой лучей A1C1 и B1C1, т. е. с точкой C1 (рис. 83, в). Из этого следует, что стороны AC и BC совместятся соответственно со сторонами A1C1 и B1C1. Итак, треугольники полностью совместятся, и, следовательно, они равны. Теорема доказана.
Проведем радиусы ОА, ОВ, ОС. По условию, угол АСВ = 120 1) Треугольники АОС и ВОС равны по третьему признаку: у них ОС - общая сторона, ОА = ОВ как радиусы одной окружности, АС = ВС по условию. Кроме того, эти треугольники еще и равнобедренные
2) Т.к. треугольники АОС и ВОС равны, то углы АСО и ВСО равны. АСО = ВСО = АСВ : 2 = 120 : 2 = 60
3) Т.к. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то ОАС = ОСА = 60 в треугольнике АСО и (аналогично) ОВС = ОСВ = 60 в треугольнике ВСО. Поскольку сумма углов ОАС + АСО + АОС треугольника АСО равна 180, то угол АОС тоже равен 60 и треугольник АСО равносторонний, а значит, АО = АС = 4, т.е. радиус окружности равен 4. Но т.к. диаметр равен двум радиусам, то диаметр будет 2 · 4 = 8
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 (рис. 83, а), и докажем, что эти треугольники равны.
Мысленно наложим треугольник ABC так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, сторона AB – с равной ей стороной A1B1, а вершина C и C1 оказались по одну сторону от прямой A1B1 (рис. 83, б).
Так как ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1, то сторона AC наложится на луч A1C1, а сторона BC – на луч B1C1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – совместится с общей точкой лучей A1C1 и B1C1, т. е. с точкой C1 (рис. 83, в). Из этого следует, что стороны AC и BC совместятся соответственно со сторонами A1C1 и B1C1. Итак, треугольники полностью совместятся, и, следовательно, они равны. Теорема доказана.