Дана прямоугольная трапеция с тупым углом 150° и площадью 150 см².
Примем радиус искомой вписанной окружности за r.
Находим верхнее основание b.
b = r + (r*tg (180° - 150°)/2) = r + r*tg 15° = r(1 + tg 15°).
Тангенс половинного угла
tan α /2 = ± √ ((1 − cos α) /(1 + сos α )) = sin α /(1 + cos α ) =
= (1 − cos α )/sin α
Находим tg 15° = (1 -(√3/2))/(1/2) = 2 - √3.
Тогда b = r(1 + 2 - √3) = r(3 - √3).
Так как высота трапеции равна 2r, то нижнее основание с равно:
с = b + (2r/tg 30°) = r(3 - √3) + (2r/(1/√3)) = r(3 - √3 + 2√3) = r(3 + √3).
На основе формулы площади трапеции составляем уравнение:
2r*((r(3 - √3) + r(3 + √3))/2) = 150.
Получаем r²*6 = 150, откуда r = √(150/6) = √25 = 5 ед.
ответ: r = 5 ед.
Правильная четырёхугольная пирамида.
S осн = 16 см²
S бок поверхности = 24 см²
Найти:V - ?
Решение:Н - высота.
h - апофема.
а - сторона основания.
"Правильный многоугольник - многоугольник, у которого все стороны и углы равны".
Так как данная пирамида - правильная, четырёхугольная => основание этой пирамиды - квадрат.
"Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны".
S квадрата = а² = 16 см²
=> а = √16 = 4 см.
S бок поверхности = 1/2 * S квадрата * h = 2 * a * h = 24 см²
а = 4 см.
=> h = (24/2)/4 = 3 см.
ОК = 1/2а = 4/2 = 2 см.
Найдём высоту пирамиды Н, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)
а = √(c² - b²) = √(3² - 2²) = √(9 - 4) = √5 = 2,23607 ≈ 2,2 см
Итак, Н ≈ 2,2 см.
V = 1/3 * a² * H = 16/3 * 2,2 ≈ 176/15 ≈ 11,73 см^3.
ответ: ≈ 11,73 см^3.