Вравнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основаниев отношение 5: 8. меньшее основание трапеции равно 6 см. найти стреднюю линию трапеции.
Треугольники SCD и SAB - прямоугольные и центр описанной около них окружности лежит в центре их общей гипотенузы SB. Следовательно, центр шара , описанного вокруг пирамиды SABC лежит в этой же точке и радиус его равен половине ребра SB. Ребро SB найдем по Пифагору: SB=√(L²+b²). Значит OA=OC=OB=OS=Rш=(1/2)√(L²+b²), а его объем равен Vш=(4/3)*πR³ или Vш=(4/3)*(1/8)π(L²+b²)√(L²+b²)=(1/6)*(L²+b²)√(L²+b²). (ответ). Найдем объем пирамиды. Опустим перпендикуляр SH из точки S на плоскость АВС. Основание этого перпендикуляра Н попадет на прямую НВ в плоскости АВС вне треугольника АВС. (То есть грань ASC не перпендикулярна плоскости основания). Чтобы найти точку Н, надо в плоскости АВС провести перпендикуляры к сторонам АВ и СВ в точки А и С. Их пересечение и даст нам искомую точку Н, в которую проецируется вершина S пирамиды, так как по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, "прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции". Значит SH - искомая высота. В равнобедренном треугольнике АВС отрезок ВР - высота, биссектриса и медиана этого треугольника. Тогда в прямоугольном треугольнике ВАН угол <ABH=(β/2), а гипотенуза НВ=b/Cos(β/2). В прямоугольном треугольнике SHB по Пифагору катет SH=√ (SB²-HB²) или SH=√[(√(L²+b²))²-(b/Cos(β/2))²]=√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)] Объем пирамиды Vп=(1/3)*So*H. Или Vп=(1/3)*b²Sinβ/2*√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)]. Или Vп=(1/6)*b²Sinβ*√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)]. (ответ).
Проверим решение на конкретных числах. Пусть b=4, L=3, β=60. Тогда SB=√(L²+b²)=5. PB=√(16+4)=√12=2√3. AH=4√3/3, SH=√(9-48/9)=√33/3. (первый вариант). HP=2√3/3, SP=√(L²-CP²)=√5. SH=√(SP²-HP²)=√(5-12/9)= √33/3 (второй вариант). HB=HP+PB=8√3/3. SH=√(SB²-HB²)=√(25-199/9)=√33/3. (третий вариант). Из моего решения: SH=√[(L²+b²)-(b²/Cos²(β/2)]=√[(9+16)-(16*4/3]=√(11/3)=√33/3.
В данной задаче известны диагональ, ширина и длина параллелепипеда. Нужно найти высоту. Есть формула, по которой можно найти диагональ, зная другие измерения. Но в данном случае, диагональ уже известна. А мы воспользуемся этой формулой, чтобы найти высоту. Итак, квадрат диагонали = сумма квадратов длины, ширины и высоты. То есть *42 по корнем и в квадрате будет все равно 42* 42 = 4^2 + 1^2 + высота. чтобы найти эту самую высоту от 42 отнимаем 17. Получаем 25. так как изначально все возводилось в квадрат, то теперь результат ставим под корень. итого: 5 ответ: А1В1 =5
Тогда АН = 5х, HD = 8x
Проведем вторую высоту.
ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и острому углу.
⇒ KD = AH = 5x
KH = 8x - 5x = 3x = BC = 6
x = 2
AD = 5x + 8x = 13x = 26
ср. линия = (AD + BC)/2 = (26 + 6)/2 = 16 cм