Дано піраміду, в основі якої лежить правильний трикутник, бічні ребра цієї
піраміди рівні і дорівнюють а та утворюють кут α з площиною основи. Основа
висоти SO, а точка О є центром трикутника основи.
Знайдіть:
а) висоту піраміди;
б) радіус кола, описаного навколо основи піраміди;
в) сторону основи піраміди;
г) площу основи піраміди;
д) радіус кола, вписаного в основу піраміди;
е) висоту бічної грані, проведеної із вершини піраміди.
![r = \sqrt[3]{\frac{43^3 \cdot \sqrt{3}}{8 \cdot 4}} =](/tpl/images/0774/5911/b459a.png)
![= \frac{43}{2} \cdot \frac{\sqrt[6]{3}}{\sqrt[3]{4}}](/tpl/images/0774/5911/860ed.png)
.
По заданию высота ВН является медианой, поэтому сторона ромба АВ равна меньшей диагонали ВД.
Отсюда следует, что треугольник АВД равносторонний, угол А равен 60°.
Половина большей диагонали является высотой этого треугольника (а также и медианой и биссектрисой): АО = 4√3/2 = 2√3 см.
Сторона a ромба равна: а = АО/cos 30° = 2√3/(√3/2) = 4 см.
Так как треугольник АВД равносторонний, то высота ВН равна высоте АО = h = 2√3 см.
Тогда площадь ромба S = ah = 4*2√3 = 8√3 см².