Треугольник АМВ будет прямоугольным, если углы между векторами МA и МB,или AM и АВ, или ВМ и ВА будет прямыми. Координаты точек:A(1;3;2), B(-1;3;-4), М(Мх;0;0). Цитата:"Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю". Проверим возможность перпендикулярности векторов МА и МB (вершина в точке М). Найдем координаты векторов (координаты вектора находятся, как разность координат КОНЦА и НАЧАЛА вектора): МА{(1-Mx);3;2}, и MB{(-1-Mx);3;-4}.Их скалярное произведение (сумма произведений их соответствующих координат): (1-Мх)*(-1-Мх)+(3*3)+(2*(-4)) = -1+Мх-Мх+Мх²+1=Мх². По условию перпендикулярности: Мх²=0. Мх=0. То есть вершина М лежит на оси 0Х при координатах: М(0;0;0). Проверим возможность перпендикулярности векторов АМ и АВ (вершина в точке А). Координаты векторов АВ{-2;0;-6}, АМ{(Mx-1);-3;-2}. Их скалярное произведение: (Мх-1)*(-2)+0+12 = -2*Mx+2+12 =-2*Mx+14. По условию перпендикулярности:-2*Mx+14=0. Отсюда Мх=7. Проверим возможность перпендикулярности векторов BМ и BA (вершина в точке В). Координаты векторов BA{2;0;6}, BМ{(Mx+1);-3;4} Их скалярное произведение: (Мх+1)*2+0+24 = 2*Mx+26. По условию перпендикулярности: 2*Mx+26=0. Отсюда Mx=-13. ответ: М(0;0;0), M(7;0;0) и М(-13;0;0)
1) Рассмотрим треугольник ЕВС - прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Тогда, ∠ЕВС = 90°-60° = 30°. Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы. ЕВ = 7*2 = 14.
2) Рассмотрим треугольник АВЕ. ∠АЕВ = 180°-60° = 120° (так как он смежный с углом ВЕС). ∠ АВЕ = 180°-120°-30° = 30°. Итак, углы АВЕ и ВАЕ треугольника АВЕ равны, следовательно, он равнобедренный.
3) AE = EB = 14 (это боковые стороны, так как лежат напротив равных углов в одном треугольнике.)
ответ: 14.