Властивість 1. Висота прямокутного трикутника рівна проекції катетів на гіпотенузу. Мовою формул, твердження еквівалентне запису
СD*СD = АD ∙ DВ
Властивість 2. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузі і проекції цього катета на гіпотенузу
AC*AC=AB*AD;
BC*BC=AB*BD.
Добре розберіться, за що відповідають формули –наведені далі задачі будуть для Вас більш зрозумілі.
Задача 1. Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на два відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до гіпотенузи та його площу.
Розв'язання: Виконаємо побудову трикутника за даними
За 1 властивістю висота рівна
Гіпотенузу знаходимо через суму відрізків
AB=AD+BD=4+9=13 (см).
Площа трикутника рівна половині добутку основи на висоту. Виконуємо обчислення
Відповідь: Площа рівна 39 сантиметрів квадратних.
Задача 2. Площа прямокутного трикутника рівна 6 метрів квадратних. Знайти проекції катетів на гіпотенузу, якщо відомо, що один катет рівний 4 м.
Розв'язання: Виконаємо допоміжну побудову трикутника
Через відому площу обчислимо другий катет трикутника
За теоремою Піфагора знаходимо гіпотенузу
Через пропорційні відрізки знаходимо проекції
В такий самий б знаходимо проекцію другого катета
Легко переконатися, що сума проекцій рівна гіпотенузі трикутника
Відповідь: проекції катетів рівні 9/5 см та 16/5 см.
Задача 3. Один катет прямокутного трикутника рівний 8 см, а проекція другого катета на гіпотенузу – 3,6 см. Знайдіть другий катет та гіпотенузу трикутника.
Розв'язання: Зобразимо трикутник із вхідними даними.
Позначимо AD=x. Згідно другої властивості маємо
Розкриваємо дужки
Квадратне рівняння обчислюємо через дискримінант
Корені рівняння рівні
Корінь x=-10 не відповідає фізичній суті задачі.
Знаючи другу проекцію AD=6,4 см гіпотенузу знаходимо через суму проекцій
AB=3,6+6,4=10 (см.)
За теоремою Піфагора обчислюємо другий катет
Відповідь: катетів рівний 6 см, гіпотенуза – 10 см.
Дано:
Треугольник ABC, угол C = 90°, угол A = 60°, биссектриса AD = 8 см.
Найти:
CB = ?
1. Угол CAD = Угол BAD = 60/2 = 30°.
2. Треугольник ACD: угол C = 90°, угол A = 30°, AD = 8 см., CD = 4 см. (т.к. в прямоугольном треугольнике, катет, лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузе).
3. Треугольник ABC: угол C = 90°, угол A = 60°, угол B = 90° - 60° = 30°.
4. Треугольник ABD: угол DAB = ABD = 30°, следовательно треугольник ABD - равнобедренный, следовательно AD = DB = 8 см.
5. CB = CD + DB, CB = 4 + 8 = 12 см.
12 см.