Находим объём пирамиды.
|X1 Y1 Z1| |4 3 -1|
V = (1/6)*|X2 Y2 Z2| = (1/6)*|3 2 -5|
|X3 Y3 Z3| |5 5 1| = (1/6)* 4*2*1 + 3*(-5)*5 + (-1)*3*5 -
(-1)*2*5 - 4*(-5)*5 - 3*3*1 = (1/6)*19 = 19/6.
Находим площадь треугольника АВС, лежащего против конца вектора "а". Формула векторного произведения:
Произведение векторов а × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}. S(ABC) = (1/2)*b*c =
i j k
bx by bz
cx cy cz
=
i j k
3 2 -5
5 5 1
= i (2·1 - (-5)·5) - j (3·1 - (-5)·5) + k (3·5 - 2·5) =
= i (2 + 25) - j (3 + 25) + k (15 - 10) = {27; -28; 5}.
Площадь равна (1/2)√(27² + (-28)² + 5²) = (1/2)√1538 ≈ 19,60867.
Теперь находим искомое расстояние от конца вектора а до плоскости АВС как высоту пирамиды.
Н = 3V/S(ABC) = 3*(19/6)/(√1538/2) = 19/√1538 ≈ 0,48448.
Радиус равен половине диагонали.
R = 10/2 = 5 см.
ΔАВС: по теореме Пифагора
a² + b² = 100
ab = 48 площадь.
Это система уравнений. Умножим второе уравнение на 2 и прибавим к первому:
a² + 2ab + b² = 196
2ab = 96
(a + b)² = 196
ab = 48
a + b = 16
ab = 48
a = 16 - b
b² - 16b + 48 = 0
По теореме Виета:
b = 8 см или b = 6 см
а = 6 см или а = 8 см
Стороны прямоугольника 6 см и 8 см