Question

Две стороны остроугольного треугольника равны 13см и 15см, а высота, проведенная к третьей стороне, - 12см. найти радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника.(желательно с объяснением)

Answer 1

Обяснение такое. Высота разбивает треугольник на 2 прямоугольных. В одном гипотенуза 13, катет 12, значит второй катет 5 (Пифагорова тройка 5,12,13). В другом гипотенуза 15, катет 12, значит второй катет 9 (на этот раз 9,12,15, подобно 3,4,5). Можно, конечно, тупо сосчитать по теореме Пифагора, но результат будет тот же :))).

Итак, третья сторона треугольника 9 + 5 = 14. Причем мы знаем высоту к этой стороне. Поэтому площадь треугольника

S = (1/2)*14*12 = 84.

Периметр P = 13 + 14 + 15 = 42. S = P*r/2, где r - радиус вписанной окружности.

r = 2*84/42 = 4;

Радиус описанной окружности находится так.

Пусть угол между сторонами 14 и 15 - это А, тогда

sin(A) = 12/15, и S = (1/2)*14*15*sin(A);

Но по теореме синусов 2*R*sin(A) = 13; Отсюда получаем

R = 13*14*15/(4*84) = 65/8 = 8,125; 

Answer 2

Радиусы этих окружностей найдем через площадь треугольника. 

радиус вписанной окружности
r=S :p , где р=полупериметр треугольника

радиус описанной окружности
R=abc:4S

Чтобы вычислить площадь треугольника, мы должны знать его третью сторону.

Найдем эту сторону по теореме Пифагора через высоту.

Одна часть основания треугольника равна
12²=13²-х²
х²=169-144
х²=25
х=5

Вторая
12²=15²-х²
х²=225 -144
х²=81
х=9
Длина основания треугольника
9+5=14

Теперь найдем площадь треугольника по классической формуле:
S=12*14:2=84 см²

Полумериметр треугольника
(13+14+15):2=42:2=21

Найдем радиус R описанной окружности

R=13*14*15:336=2730:336=8,125 см

Радиус r вписанной окружности
r=S :p
r=84:21=4 см