Трапеция ABCD; AD II BC; AD = a; BC = b; К - середина AD; M - точка пересечения AC и BK; N - то же для CK и BD; Первое, что надо понять - MN II AD; В самом деле, ABCK - трапеция, поэтому точка M делит её диагонали в отношении CM/AM = BC/AK = 2b/a; Аналогично BN/ND = BC/KD = 2b/a; пропорции одинаковые, поэтому MN II AD; Поскольку треугольники MNC и AKC подобны, все, что нужно - найти CM/AC; ясно, что MN/AK = CM/AC; Пусть AM = x; CM = y; из подобия треугольников BCM и AKM x/(a/2) = y/b; x = ya/2b; => x + y = y(1 + a/2b); y/(x + y) = 1/(1 + a/2b); => MN = AK/(1 + a/2b) = (a/2)/(1 + a/2b) = ab/(2b + a); вроде так :(
Круг с центром О Хорда АВ=64, хорда СД=48, АВ||CД Опустим из О перпендикуляр ОН на СД, он же перпендикулярен АВ и пересекает АВ в точке Е. ЕН=8 - расстояние между хордами: ОН=ОЕ+ЕН=ОЕ+8 ΔОАВ - равнобедренный (ОА=ОВ - радиусы), тогда ОЕ - высота, медиана (АЕ=ЕВ=32) и биссектриса: ОА²=АЕ²+ОЕ²=1024+ОЕ² аналогично ΔОСД - равнобедренный (ОС=ОД - радиусы), тогда ОН - высота, медиана (СН=НД=24) и биссектриса: ОС²=СН²+ОН²=576+(ОЕ+8)²=576+ОЕ²+16ОЕ+64=ОЕ²+16ОЕ+640 Т.к. ОА=ОС, то 1024+ОЕ²=ОЕ²+16ОЕ+640 16ОЕ=384 ОЕ=24 Значит радиус ОА=√1024+576=1600=40 Диаметр круга равен 2ОА=2*40=80
Первое, что надо понять - MN II AD; В самом деле, ABCK - трапеция, поэтому точка M делит её диагонали в отношении CM/AM = BC/AK = 2b/a;
Аналогично BN/ND = BC/KD = 2b/a; пропорции одинаковые, поэтому MN II AD;
Поскольку треугольники MNC и AKC подобны, все, что нужно - найти CM/AC; ясно, что MN/AK = CM/AC;
Пусть AM = x; CM = y; из подобия треугольников BCM и AKM
x/(a/2) = y/b; x = ya/2b; => x + y = y(1 + a/2b); y/(x + y) = 1/(1 + a/2b);
=> MN = AK/(1 + a/2b) = (a/2)/(1 + a/2b) = ab/(2b + a); вроде так :(